Hotline 0939 629 809

Các dạng toán về đạo hàm của hàm số, cách tính và bài tập áp dụng - toán lớp 11

16:23:5014/08/2018

Đạo hàm là một trong những nội dung kiến thức quan trọng và thường xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia. Vì vậy, nắm được cách giải các dạng toán về đạo hàm của hàm số giúp các em có thể đạt kết quả thi tốt.

Bài viết này chúng ta sẽ củng cố lại một số kiến thức cần nhớ về đạo hàm, cách tính đạo hàm của hàm cơ bản, đạo hàm của hàm hợp hay đạo hàm của hàm trị tuyệt đối,... để từ đó có thể dễ dàng giải các dạng toán về đạo hàm.

I. Lý thuyết về Đạo hàm

1. Đạo hàm là gì?

- Đạo hàm: là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x0. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b), đạo hàm của hàm số tại điểm x0 là:

- Nếu ký hiệu:  và  thì:

- Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm x0.

2. Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

- Cho hàm số f(x) có đồ thị (C).

- f'(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại M0(x0;y0) ∈ (C) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 là:

 

• Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = s(t) tại thời điểm t0v(t0) = s'(t0).

- Cường độ tức thời của lượng điện Q = Q(t) tại điểm t0 là I(t0) = Q'(t0).

3. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

- Bước 1: Với Δx là số giá của đối số tại x0, tính: 

- Bước 2: Lập tỉ số:  và tính 

 Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

 - Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 ⇒ f(x) liên tục tại x0

* Lưu ý: Ngược lại chưa chắc đúng, tức là f(x) liên tục tại x0 chưa chắc f(x) đã có đạo hàm tại x0.

4. Công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản

• 

•  

• 

• 

• 

• 

• 

5. Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

- Cho u = u(x); v = v(x); C là  hằng số

• 

• 

• 

• Nếu 

* Chú ý: khi tính đạo hàm của hàm hợp ta tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x

II. Một số dạng toán về đạo hàm của hàm số

Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số

* Phương pháp: Vận dụng các quy tắc và cách tính đạo hàm đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp, nếu bài toán yêu cầu tính đạo hàm tại điểm x0 thì ta tính đạo hàm của hàm đó rồi thay x0 vào để được kết quả.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) 

b) 

c)

d) 

* Lời giải:

a) 

- Ta có: 

⇒ 

b) 

- Ta có:

c)

- Ta có: 

d) 

- Ta có: 

⇒ 

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau tại các điểm tương ứng

a) y = -x3 + 3x2 - 5x + 1 tại x0 = -1.

b) y = sin2x + cosx tại x0 = -π/4

c)  tại x0 = 2.

* Lời giải:

a) Ta có: y' = -3x2 + 6x - 5

⇒ y'(-1) = -3.(-1)2 + 6(-1) - 5 = -3 - 6 - 5 = -14

b) Ta có: y' = 2cos2x - sinx

⇒ 

c) Ta có: 

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau 

a)      b)

c)

d) 

e) 

f) 

g) 

* Lời giải:

a) Ta có:

 

b) Ta có:

 

c) Ta có:

 

d) Ta có:

 

e) Ta có:

 

f) Ta có:

 

g) Ta có: 

 

Dạng 2: Giải phương trình y' = 0

* Phương pháp: Tính y' sau đó giải phương trình y'=0

Ví dụ 1: Giải phương trình y'=0 biết

a)     b) 

c)      d)  

e)      f) 

g)      h) 

* Lời giải:

a) 

- Ta có: 

 

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠1 nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.

b) 

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.

c) 

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 3/2 và x = 1/2.

d) 

- Ta có: 

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠-1 nên phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.

e) 

- Ta có: 

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠-1 nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.

f) 

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 

g)

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3.

h) 

- Ta có: 

- Giải phương trình trên ta được:  và 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm

* Phương pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi về hàm lượng giác

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

a)  với 

b)  với 

c)  với 

* Lời giải:

a)  với 

- Ta có: , khi đó:

⇒ 

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

b)  với 

- Ta có: 

- Khi đó:

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

c)  với 

- Ta có 

- Khi đó:

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

III. Bài tập về Đạo hàm

đạo hàm của hàm số

Hy vọng với bài viết hướng dẫn chi tiết về các dạng toán về đạo hàm và cách tính ở trên giúp ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp ý các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
Nguyễn Thị Cậm
Cho hỏi, cái hằng đẳng thức ấy, mình bấm mod 5 3 nó ra 2 x, rồi mình sử dụng 2 x đó như thế nào ad
Trả lời -
29/06/2020 - 19:40
...
Admin
Em hỏi ad chưa rõ ý, tùy yêu cầu bài toán là gì em mới biết cần tính gì tiếp chứ em
30/06/2020 - 08:26
captcha
...
Lan Anh
Ad ơi em không hiểu dạng 2 ạ, em làm mãi công thức u'v - v phẩy u / v^2 mà hong ra giống kết quả như ad. Ad có thể trình bày mẫu giúp em 1 bài rõ từng bước làm j trong đó luôn được không ạ.
Trả lời -
25/06/2020 - 11:46
...
Admin
Câu nào em ơi, em hỏi cụ thể thì ad mới trả lời được nha,
25/06/2020 - 15:01
captcha
...
Chi Mai
Phân biệt đạo hàm thường gặp với đạo hàm của hàm hợp như nào ạ ??
Trả lời -
21/06/2020 - 10:14
...
Admin
Khái niệm thường gặp thì mình tự đặt em ạ, tức là em hay sử dụng đến và thường là các đạo hàm cơ bản, còn hàm hợp thì phức tạp hơn, em phải nắm được đạo hàm cơ bản mới tính được đạo hàm của hàm hợp.
22/06/2020 - 11:27
captcha
...
Nam
Cách tìm số nghiệm của phương trình đạo hàm kiểu gì ạ
Trả lời -
05/06/2020 - 21:37
...
Admin
Tùy bậc của pt đạo hàm, bậc 2 thì em tính delta như em đã biết nha,
06/06/2020 - 14:59
captcha
...
vũ thi8j bi8cghs thu
hay
Trả lời -
30/05/2020 - 09:08
captcha
...
Nguyen xuan
Cho e xin cách giải đạo hàm mà có chứa hằng đẳng thức với ạ
Trả lời -
28/05/2020 - 08:15
...
Admin
Chủ yếu là em vận dụng đúng công thức tính đạo hàm thôi mà, hoặc em hỏi cụ thể hơn Ad mới hiểu ý
01/06/2020 - 15:14
captcha
...
Minh Nguyen
Hoan hao .
Trả lời -
01/05/2020 - 08:57
captcha
...
Hồng phương
Cho mình xin đáp án bài tập phần 3 với
Trả lời -
10/04/2020 - 23:00
captcha
...
Nguyễn Thị Phương Mai
Cho e xin đáp án phần IIi bài tập với ạ!
Trả lời -
05/04/2020 - 10:15
captcha
...
Nguyễn thị thanh huyền
Ai giúp em với: f(x)= x^2 - 4|x| + 5 Tính f'(x)
Trả lời -
24/10/2019 - 10:08
...
Admin
Em khử trị tuyệt đối rồi tính đạo hàm bình thường nha ( tức là xét trường hợp x>=0, trường hợp x<=0 nha).
25/10/2019 - 10:16
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 10