Các dạng toán về đạo hàm của hàm số, cách tính và bài tập áp dụng - Toán lớp 11

I. Lý thuyết về Đạo hàm

1. Đạo hàm là gì?

• Đạo hàm:là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm$x_0$. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý. 

• Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0 \in (a;b)$, đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$ là:

  $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

• Nếu ký hiệu: $\Delta x = x - x_0$ và $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ thì:

  $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• Nếu hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại điểm $x_0$.

2. Ý nghĩa của đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

  • Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị $(C)$.

  • $f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ của hàm số $y = f(x)$ tại $M_0(x_0; y_0) \in (C)$, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M_0$ là:

    $$y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + y_0$$

• Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

  • Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = s(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$.

  • Cường độ tức thời của lượng điện $Q = Q(t)$ tại điểm $t_0$ là $I(t_0) = Q'(t_0)$.

3. Quy tắc tính đạo hàm

• Bước 1: Với $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

• Bước 2: Lập tỉ số: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ và tính $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

• Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục: Nếu $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0 \Rightarrow f(x)$ liên tục tại $x_0$.

• Lưu ý: Ngược lại chưa chắc đúng, tức là $f(x)$ liên tục tại $x_0$ chưa chắc $f(x)$ đã có đạo hàm tại $x_0$.

4. Công thức tính đạo hàm cơ bản

• $(C)' = 0; (x)' = 1$.

• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1} \Rightarrow (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$).

• $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (x > 0) \Rightarrow (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}, (u > 0)$.

• $(\sin x)' = \cos x \Rightarrow (\sin u)' = u' \cdot \cos u$.

• $(\cos x)' = -\sin x \Rightarrow (\cos u)' = -u' \cdot \sin u$.

• $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow (\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$.

• $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \Rightarrow (\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$.

5. Công thức tính đạo hàm hàm hợp

• Cho $u = u(x); v = v(x); C$ là hằng số:

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$

• $(u \cdot v)' = u'v + v'u \Rightarrow (C \cdot u)' = C \cdot u'$

• $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - v'u}{v^2}, (v \neq 0) \Rightarrow (\frac{C}{u})' = -\frac{C \cdot u'}{u^2}$

• Nếu $y = f(u), u = u(x) \Rightarrow y'_x = y'_u \cdot u'_x$.

• Chú ý: Khi tính đạo hàm của hàm hợp ta tính đạo hàm của hàm số theo biến $u$ rồi nhân với đạo hàm của hàm số $u$ theo biến $x$.

II. Một số dạng toán về đạo hàm của hàm số

Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số

Phương pháp:Vận dụng các quy tắc và cách tínhđạo hàm đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp, nếu bài toán yêu cầu tính đạo hàm tại điểm $x_0$thì ta tính đạo hàm của hàm đó rồi thay$x_0$vào để được kết quả.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (x^3 - 3x^2 + 2x + 5)'$

    $\Rightarrow y' = 3x^2 - 6x + 2$

b) $y = \sin x - \cos x + \tan x$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (\sin x - \cos x + \tan x)'$

    $\Rightarrow y' = \cos x + \sin x + \frac{1}{\cos^2 x}$

c) $y = x^4 + 3\sqrt{x}$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (x^4 + 3\sqrt{x})'$

    $\Rightarrow y' = 4x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}}$

d) $y = \cot x - 2x + 1$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (\cot x - 2x + 1)'$

    $\Rightarrow y' = -\frac{1}{\sin^2 x} - 2$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau tại các điểm tương ứng

a) $y = -x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ tại $x_0 = -1$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = -3x^2 + 6x - 5$

  • $\Rightarrow y'(-1) = -3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) - 5 = -3 - 6 - 5 = -14$

b) $y = \sin 2x + \cos x$ tại $x_0 = -\frac{\pi}{4}$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = 2\cos 2x - \sin x$

  • $\Rightarrow y'(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) - \sin(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $y = \sqrt{x} - 2x$ tại $x_0 = 2$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2$

  • $\Rightarrow y'(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}} - 2 = \frac{1 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (\frac{2x - 1}{x + 3})' = \frac{(2x - 1)'(x + 3) - (2x - 1)(x + 3)'}{(x + 3)^2} = \frac{2(x + 3) - 1(2x - 1)}{(x + 3)^2} = \frac{2x + 6 - 2x + 1}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}$

b) $y = \frac{x^2 + 3x - 1}{x + 1}$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (\frac{x^2 + 3x - 1}{x + 1})' = \frac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x + 3x + 3 - x^2 - 3x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x + 1)^2}$

c) $y = x^4 + 3x^2 + 2$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (x^4 + 3x^2 + 2)' = 4x^3 + 6x$

d) $y = \sin(2x + 1) + \cos(1 - x)$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (\sin(2x + 1) + \cos(1 - x))' = 2\cos(2x + 1) - (-\sin(1 - x)) = 2\cos(2x + 1) + \sin(1 - x)$

e) $y = \sqrt{2x + 3}$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (\sqrt{2x + 3})' = \frac{(2x + 3)'}{2\sqrt{2x + 3}} = \frac{2}{2\sqrt{2x + 3}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}$

f) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 1}$

• Lời giải:

  • Ta có: $y' = (\sqrt{x^2 + 4x + 1})' = \frac{(x^2 + 4x + 1)'}{2\sqrt{x^2 + 4x + 1}} = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 1}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}}$

g) $y = \tan(x^2 + 2\sqrt{x} + 1)$

• Lời giải:

  • $y' = (\tan(x^2 + 2\sqrt{x} + 1))' = \frac{(x^2 + 2\sqrt{x} + 1)'}{\cos^2(x^2 + 2\sqrt{x} + 1)} = \frac{2x + \frac{2}{2\sqrt{x}}}{\cos^2(x^2 + 2\sqrt{x} + 1)} = \frac{2x + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\cos^2(x^2 + 2\sqrt{x} + 1)} = \frac{2x\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} \cos^2(x^2 + 2\sqrt{x} + 1)}$

Dạng 2: Giải phương trình $y' = 0$

Phương pháp: Tính $y'$ sau đó giải phương trình $y' = 0$.

Ví dụ 1: Giải phương trình $y' = 0$

a) $y = \frac{x^2}{x - 1}$

• Lời giải: $y' = (\frac{x^2}{x - 1})' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2}$.

  $y' = 0 \iff \begin{cases} x^2 - 2x = 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x(x - 2) = 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \iff \left[ \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix} \right.$

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x = 0$ và $x = 2$.

b) $y = x^3 - 3x^2$

• Lời giải: $y' = 3x^2 - 6x = 0 \iff 3x(x - 2) = 0 \iff \left[ \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix} \right.$

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x = 0$ và $x = 2$.

c) $y = 4x^3 - 12x^2 + 9x - 1$

• Lời giải: $y' = 12x^2 - 24x + 9 = 0 \iff 3(4x^2 - 8x + 3) = 0 \iff 3(2x - 1)(2x - 3) = 0 \iff \left[ \begin{matrix} x = 1/2 \\ x = 3/2 \end{matrix} \right.$

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x = 1/2$ và $x = 3/2$.

d) $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$

• Lời giải: $y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$

  $y' = 0 \iff \begin{cases} x^2 + 2x = 0 \\ x \neq -1 \end{cases} \iff \left[ \begin{matrix} x = 0 \\ x = -2 \end{matrix} \right.$

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x = 0$ và $x = -2$.

e) $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 1}$

• Lời giải: $y' = \frac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x + 3)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 5x + 3 - x^2 - 3x - 3}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$

  $y' = 0 \iff \begin{cases} x^2 + 2x = 0 \\ x \neq -1 \end{cases} \iff \left[ \begin{matrix} x = 0 \\ x = -2 \end{matrix} \right.$

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x = 0$ và $x = -2$.

f) $y = \frac{x^4}{2} - 3x^2 + \frac{5}{2}$

• Lời giải: $y' = 2x^3 - 6x = 0 \iff 2x(x^2 - 3) = 0 \iff \left[ \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm\sqrt{3} \end{matrix} \right.$

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $x = 0, x = \sqrt{3}, x = -\sqrt{3}$.

g) $y = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1}$

• Lời giải: $y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - x - 1 - x^2 - x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$

  $y' = 0 \iff \begin{cases} x^2 - 2x - 3 = 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \iff \left[ \begin{matrix} x = -1 \\ x = 3 \end{matrix} \right.$

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x = -1$ và $x = 3$.

h) $y = \frac{2x^2 + x}{x + 1}$

• Lời giải: $y' = \frac{(4x + 1)(x + 1) - (2x^2 + x)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 5x + 1 - 2x^2 - x}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 1}{(x + 1)^2}$

  $y' = 0 \iff \begin{cases} 2x^2 + 4x + 1 = 0 \\ x \neq -1 \end{cases}$

  Giải phương trình $2x^2 + 4x + 1 = 0$: $\Delta' = 2^2 - 2 \cdot 1 = 2$.

  $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}$ và $x = \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$.

  $\Rightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm

Phương pháp: Tính đạo hàm $y'$ và sử dụng các phép biến đổi lượng giác để rút gọn biểu thức.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

a) $y' - y^2 - 1 = 0$, với $y = \tan x$

b) $y' + 2y^2 + 2 = 0$ với $y = \cot 2x$

c) $(y')^2 + 4y^2 - 4 = 0$ với $y = \sin 2x$

Lời giải:

a) $y' - y^2 - 1 = 0$, với $y = \tan x$

• Ta có: $y' = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, khi đó:

  $\Rightarrow y' - y^2 - 1 = \frac{1}{\cos^2 x} - \tan^2 x - 1 = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \sin^2 x - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{1 - 1}{\cos^2 x} = 0$

  $\Rightarrow$ Ta có điều phải chứng minh.

b) $y' + 2y^2 + 2 = 0$ với $y = \cot 2x$

• Ta có: $y' = (\cot 2x)' = -\frac{(2x)'}{\sin^2 2x} = -\frac{2}{\sin^2 2x}$

• Khi đó:

  $y' + 2y^2 + 2 = -\frac{2}{\sin^2 2x} + 2(\cot 2x)^2 + 2 = -\frac{2}{\sin^2 2x} + 2\frac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x} + 2 = \frac{-2 + 2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x}{\sin^2 2x} = \frac{-2 + 2(\sin^2 2x + \cos^2 2x)}{\sin^2 2x} = \frac{-2 + 2(1)}{\sin^2 2x} = 0$

  $\Rightarrow$ Ta có điều phải chứng minh.

c) $(y')^2 + 4y^2 - 4 = 0$ với $y = \sin 2x$

• Ta có $y' = (\sin 2x)' = 2\cos 2x$

• Khi đó: $(y')^2 + 4y^2 - 4 = (2\cos 2x)^2 + 4(\sin 2x)^2 - 4 = 4\cos^2 2x + 4\sin^2 2x - 4 = 4(\cos^2 2x + \sin^2 2x) - 4 = 4(1) - 4 = 0$

  $\Rightarrow$ Ta có điều phải chứng minh.

III. Bài tập về Đạo hàm

(Dưới đây là danh sách các bài tập tổng hợp để các em tự luyện tập)

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$

b) $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$

c) $y = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}$

d) $y = x^4 - x^2 + 1$

e) $y = 2x^3 + 3x^2 - 1$

f) $y = 2x^3 + 3x^2 - 1$

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) $y = \frac{x - 2}{x - 1}$

b) $y = x^3 - 3x^2 + 2$

c) $y = \frac{x^2}{x + 1}$

d) $y = \frac{-3x + 1}{x + 2}$

e) $y = \frac{-3x^2 - x + 1}{2x - 1}$

f) $y = -2x^4 + 3x^2 - 4$

Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tương ứng:

a) $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 1}$ tại điểm $x_0 = -1$

b) $y = x^4 - 5x^2 + 4$ tại điểm $x_0 = 2$

c) $y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 2x + 4$ tại điểm $x_0 = \sqrt{3}$

Bài 4. Giải phương trình $y' = 0$ trong các trường hợp sau:

a) $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 1}$

b) $y = \frac{2x^2 + 2}{-x + 1}$

c) $y = x^3 - 3x^2 + 2$

d) $y = x^4 - 5x^2 + 4$

e) $y = -2x^4 - x^2 + 4$

f) $y = -x^3 - 3x + 2$