Hotline 0962 782 149

Các dạng toán về đạo hàm của hàm số, cách tính và bài tập áp dụng - Toán lớp 11

16:23:5014/08/2018

Đạo hàm là một trong những nội dung kiến thức quan trọng và thường xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia. Vì vậy, nắm được cách giải các dạng toán về đạo hàm của hàm số giúp các em có thể đạt kết quả thi tốt.

Bài viết này chúng ta sẽ củng cố lại một số kiến thức cần nhớ về đạo hàm, cách tính đạo hàm của hàm cơ bản, đạo hàm của hàm hợp hay đạo hàm của hàm trị tuyệt đối,... để từ đó có thể dễ dàng giải các dạng toán về đạo hàm.

I. Lý thuyết về Đạo hàm

1. Đạo hàm là gì?

- Đạo hàm: là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x₀. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x₀ ∈ (a;b), đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ là: $f'(x_{0})=lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

- Nếu ký hiệu: $Delta x=x-x_{0}$ và $Delta y=f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})$ thì:

$f'(x_{0})=lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x_{0}-Delta x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ $=lim_{Delta x ightarrow0}frac{Delta y}{Delta x}$

- Nếu hàm số có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm x₀.

2. Ý nghĩa của đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

- Cho hàm số f(x) có đồ thị (C).

- f'(x₀) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại M₀(x₀;y₀) ∈ (C) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀ là:

$y=f'(x_{0}).(x-x_{0})+y_{0}$

• Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = s(t) tại thời điểm t₀ là v(t₀) = s'(t₀).

- Cường độ tức thời của lượng điện Q = Q(t) tại điểm t₀ là I(t₀) = Q'(t₀).

3. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

- Bước 1: Với Δx là số giá của đối số tại x₀, tính: $Delta y=f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})$

- Bước 2: Lập tỉ số: $frac{Delta y}{Delta x}$ và tính $lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x}$

• Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

- Nếu f(x) có đạo hàm tại x₀ ⇒ f(x) liên tục tại x₀

* Lưu ý: Ngược lại chưa chắc đúng, tức là f(x) liên tục tại x₀ chưa chắc f(x) đã có đạo hàm tại x₀.

4. Công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản

• (C)'=0;(x)'=1.

• $(x^{n})'=nx^{n-1}$ $Rightarrow (u^{n})'=n.u^{n-1}.u',(nin mathbb{N},ngeq 2)$

• $(sqrt{x})'=frac{1}{2sqrt{x}},(x> 0)$ $Rightarrow left ( sqrt{u} ight )'=frac{u'}{2sqrt{u}};(u> 0)$

• (sinx)'=cosxRightarrow (sinu)'=u'.cosu

• (cosx)'=-sinxRightarrow (cosu)'=-u'.sinu

• $(tanx)'=frac{1}{cos^{2}x}Rightarrow (tanu)'=frac{u'}{cos^{2}u}$

• $(cotx)'=-frac{1}{sin^{2}x}Rightarrow (cotu)'=-frac{u'}{sin^{2}u}$

5. Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

- Cho u = u(x); v = v(x); C là hằng số

• (upm v)'=u'pm v'

• (u.v)'=u'v+v'.uRightarrow (C.u)'=C.u'

• $left ( frac{u}{v} ight )'=frac{u'.v-v'.u}{v^{2}},(v eq 0)$ $Rightarrow left ( frac{C}{u} ight )'=-frac{C.u'}{u^{2}}$

• Nếu $y=f(u), u=u(x)Rightarrow y'_{x}=y'_{u}.u'_{x}.$

* Chú ý: khi tính đạo hàm của hàm hợp ta tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x.

II. Một số dạng toán về đạo hàm của hàm số

• Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số

* Phương pháp: Vận dụng các quy tắc và cách tính đạo hàm đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp, nếu bài toán yêu cầu tính đạo hàm tại điểm x₀ thì ta tính đạo hàm của hàm đó rồi thay x₀ vào để được kết quả.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y=x^{3}-3x^{2}+2x+5$

b) y=sinx-cosx+tanx

c) $dpi{100} fn_cm y=x^{4}+3sqrt{x}$

d) y=cotx-2x+1

* Lời giải:

a) $y=x^{3}-3x^{2}+2x+5$

- Ta có: $y'=left (x^{3}-3x^{2}+2x+5 ight )'$

⇒ $y'=3x^{2}-6x+2$

b) y=sinx-cosx+tanx

- Ta có: y'=left (sinx-cosx+tanx
ight )'

⇒ $dpi{100} fn_cm y'=cosx+sinx+frac{1}{cos^{2}x}$

c) $dpi{100} fn_cm y=x^{4}+3sqrt{x}$

- Ta có: $dpi{100} fn_cm y'=left (x^{4}+3sqrt{x} ight )'$

⇒ $y'=4x^{3}+frac{3}{2sqrt{x}}$

d) y=cotx-2x+1

- Ta có: y'=left (cotx-2x+1
ight )'

⇒ $y'=-frac{1}{sin^{2}x}-2$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau tại các điểm tương ứng

a) y = -x³ + 3x² - 5x + 1 tại x₀ = -1.

b) y = sin2x + cosx tại x₀ = -π/4

c) y=sqrt{x}-2x tại x₀ = 2.

* Lời giải:

a) Ta có: y' = -3x² + 6x - 5

⇒ y'(-1) = -3.(-1)² + 6(-1) - 5 = -3 - 6 - 5 = -14

b) Ta có: y' = 2cos2x - sinx

⇒ $y'(-frac{pi }{4})=2.cos2(-frac{pi }{4})-sin(-frac{pi }{4})$ $=2.cos(-frac{pi }{2})+sin(frac{pi }{4})$ $dpi{100} fn_cm =2.0+frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{2}}{2}$

c) Ta có: $y'=frac{1}{2sqrt{x}}-2$

⇒ $dpi{100} fn_cm y'(2)=frac{1}{2sqrt{2}}-2=frac{1-4sqrt{2}}{2sqrt{2}}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $dpi{100} y=frac{2x-1}{x+3}$ b) $dpi{100} y=frac{x^{2}+3x-1}{x+1}$

c) $dpi{100} y=x^{4}+3x^{2}+2$

d) y=sin(2x+1)+cos(1-x)

e) y=sqrt{2x+3}

f) $y=sqrt{x^{2}+4x+1}$

g) $y=tan(x^{2}+2sqrt{x}+1)$

* Lời giải:

a) Ta có:

$dpi{100} fn_cm dpi{100} y'=left (frac{2x-1}{x+3} ight )'$ $=frac{(2x-1)'(x+3)-(2x-1)(x+3)'}{(x+3)^{2}}$ $=frac{2x+6-2x+1}{(x+3)^{2}}=frac{7}{(x+3)^{2}}$

b) Ta có:

$dpi{100} y'=left (frac{x^{2}+3x-1}{x+1} ight )'$ $=frac{(2x+3)(x+1)-(x^{2}+3x-1)}{(x+1)^{2}}$ $=frac{x^{2}+2x+4}{(x+1)^{2}}$

c) Ta có:

$dpi{100} y'=left (x^{4}+3x^{2}+2 ight )'=4x^{3}+6x$

d) Ta có:

y'=left (sin(2x+1)+cos(1-x)
ight )' =2cos(2x+1)+sin(1-x)

e) Ta có:

$y'=left (sqrt{2x+3} ight )'=frac{2}{2sqrt{2x+3}}=frac{1}{sqrt{2x+3}}$

f) Ta có:

$y'=left (sqrt{x^{2}+4x+1} ight )'$ $=frac{2x+4}{2sqrt{x^{2}+4x+1}}=frac{x+2}{sqrt{x^{2}+4x+1}}$

g) Ta có:

$y'=left (tan(x^{2}+2sqrt{x}+1) ight )'$ $=frac{left (x^{2}+2sqrt{x}+1 ight )'}{cos^{2}(x^{2}+2sqrt{x}+1)}$ $=frac{2x+frac{1}{sqrt{x}}}{cos^{2}(x^{2}+2sqrt{x}+1)}$ $=frac{2xsqrt{x}+1}{sqrt{x}cos^{2}(x^{2}+2sqrt{x}+1)}$

• Dạng 2: Giải phương trình y' = 0

* Phương pháp: Tính y' sau đó giải phương trình y'=0

Ví dụ 1: Giải phương trình y'=0 biết

a) $y=frac{x^{2}}{x-1}$ b) $y=x^{3}-3x^{2}$

c) $y=4x^{3}-12x^{2}+9x-1$ d) $y=frac{x^{2}+2x+2}{x+1}$

e) $y=frac{x^{2}+3x+3}{x+1}$ f) $y=frac{x^{4}}{2}-3x^{2}+frac{5}{2}$

g) $dpi{100} fn_cm y=frac{x^{2}+x+2}{x-1}$ h) $y=frac{2x^{2}+x}{x+1}$

* Lời giải:

a) $y=frac{x^{2}}{x-1}$

- Ta có: $y'=left (frac{x^{2}}{x-1} ight )'=frac{x^{2}-2}{(x-1)^{2}}$

$Rightarrow y'=0Leftrightarrow frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}=0$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2}-2x=0 x eq 1 end{matrix} ight.$ Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=0 x=2 end{matrix}

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠1 nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.

b) $y=x^{3}-3x^{2}$

- Ta có: $y'=3x^{2}-6x=0Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=0 x=2 end{matrix}$

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.

c) $y=4x^{3}-12x^{2}+9x-1$

- Ta có: $y'=12x^{2}-24x+9=0Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=3/2 x=1/2 end{matrix}$

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 3/2 và x = 1/2.

d) $y=frac{x^{2}+2x+2}{x+1}$

- Ta có: $y'=frac{x^{2}+2x}{left (x+1 ight )^{2}}=0$ $Leftrightarrowleft{egin{matrix} x^{2}+2x=0 x eq -1 end{matrix} ight.$ Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=0 x=-2 end{matrix}

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠-1 nên phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.

e) $y=frac{x^{2}+3x+3}{x+1}$

- Ta có: $y'=frac{x^{2}+2x}{left (x+1 ight )^{2}}=0$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2}+2x=0 x eq -1 end{matrix} ight.$ Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=0 x=-2 end{matrix}

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠-1 nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.

f) $y=frac{x^{4}}{2}-3x^{2}+frac{5}{2}$

- Ta có: $y'=2x^{3}-6x=0Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=0 x=pm sqrt{3} end{matrix}$

⇒ Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt x = 0 và x = pm sqrt{3}

g) $dpi{100} fn_cm y=frac{x^{2}+x+2}{x-1}$

- Ta có: $y'=frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}=0Leftrightarrow left{egin{matrix} x^{2}-2x-3=0 x eq 1 end{matrix} ight.$ Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=-1 x=3 end{matrix}

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3.

h) $y=frac{2x^{2}+x}{x+1}$

- Ta có: $y'=frac{2x^{2}+4x+1}{(x+1)^{2}}=0$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x^{2}+4x+1=0 x eq -1 end{matrix} ight.$

- Giải phương trình trên ta được: $x=frac{-2-sqrt{2}}{2}$ và $x=frac{-2+sqrt{2}}{2}$

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

• Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm

* Phương pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi về hàm lượng giác

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

a) $y'-y^{2}-1=0,$ với y=tanx

b) $y'+2y^{2}+2=0$ với y=cot2x

c) $dpi{100} fn_cm y'^{2}+4y^{2}-4=0$ với y=sin2x

* Lời giải:

a) $y'-y^{2}-1=0,$ với y=tanx

- Ta có: $y'=frac{1}{cos^{2}x}$ , khi đó:

⇒ $y'-y^{2}-1=frac{1}{cos^{2}x}-frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}-1$ $=frac{1-sin^{2}x-cos^{2}x}{cos^{2}x}$ $=frac{1-(sin^{2}x+cos^{2}x)}{cos^{2}x}=frac{1-1}{cos^{2}x}=0$

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

b) $y'+2y^{2}+2=0$ với y=cot2x

- Ta có: $y'=-frac{2}{sin^{2}2x}$

- Khi đó:

$dpi{100} fn_cm y'+2y^{2}+2=-frac{2}{sin^{2}2x}+frac{2cos^{2}2x}{sin^{2}2x}+2$ $=frac{-2+2(sin^{2}2x+ cos^{2}2x)}{sin^{2}2x}=0$

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

c) $dpi{100} fn_cm y'^{2}+4y^{2}-4=0$ với y=sin2x

- Ta có y'=2cos2x

- Khi đó: $dpi{100} fn_cm dpi{100} fn_cm y'^{2}+4y^{2}-4=4cos^{2}2x+4sin^{2}2x-4$ $=4(cos^{2}2x+sin^{2}2x)-4=0$

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

III. Bài tập về Đạo hàm

đạo hàm của hàm số

Hy vọng với bài viết hướng dẫn chi tiết về các dạng toán về đạo hàm và cách tính ở trên giúp ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp ý các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.