Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m - Toán 9 chuyên đề

10:00:1613/07/2021

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số ở lớp 9 là một trong những dạng toán xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đối với các dạng toán chứa tham số, tất nhiên thường sẽ có độ khó hơn một chút với dạng toán cơ bản.

Bài tập hệ phương trình chứa tham số m thường có một số dạng như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m); Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m,...

» Đừng bỏ lỡ: Hai cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn cực dễ hiểu

• Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thay giá trị của m vào hệ phương trình đã cho.

+ Bước 2: Giải hệ phương trình vừa nhận được theo các phương pháp đã biết.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} 2x-y=2m+3\\ x+y=3m+1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình với m = 1.

* Lời giải:

- Với m = 1 ta có hệ: $\small \left\{\begin{matrix} 2x-y=5\\ x+y=4 \end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế pt(1) và pt(2) của hệ, ta được:

$\small \left\{\begin{matrix} 3x=9\\ x+y=4 \end{matrix}\right.$

3x = 9 ⇔ x = 3 ⇒ y = 4 - 3 = 1.

Vậy với m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;1).

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=m+1\\ x+(m-1)y=2 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình trên với m = 2.

* Lời giải:

- Khi m = 2 hệ phương trình có dạng: $\small \left\{\begin{matrix} 3x-y=3\\ x+y=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x=5\\ x+y=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{4}\\ y=2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4} \end{matrix}\right.$

Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm $\small (x;y)=\left ( \frac{5}{4};\frac{3}{4} \right )$

• Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số).

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đựa hệ phương trình về phương trình dạng bậc nhất dạng ax + b = 0. (sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,...)

+ Bước 2: Xét phương trình bậc nhất: ax + b = 0, (với a, b là hằng số) (*).

- TH1: Nếu a ≠ 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = -b/a. từ đó tìm được y.

- TH2: Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.

- TH3: Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình (*) có vô số nghiệm.

+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=m+1\: \: (1)\\ x+(m-1)y=2 \: \:\: \: \: (2)\end{matrix}\right.$

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trên theo tham số m.

* Lời giải:

- Từ PT (1) của hệ ta có: y = (m + 1)x - (m + 1); (3)

thế vào PT 2) ta được:

x + (m - 1)[(m + 1)x - (m + 1)] = 2

⇔ x + (m² - 1)x - (m² - 1) = 2

⇔ m²x = m² + 1. (4).

- TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT (4) có nghiệm duy nhất: $\small x=\frac{m^2+1}{m^2}$ thay vào (3) ta có:

$\small y=(m+1)\frac{m^2+1}{m^2}-(m+1)$ $\small =\frac{(m+1)(m^2+1)-m^2(m+1)}{m^2}$

$\small =\frac{m^3+m+m^2+1-m^3-m^2}{m^2}=\frac{m+1}{m^2}$

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\small (x;y)=\left (\frac{m^2+1}{m^2};\frac{m+1}{m^2} \right )$

- TH2: Nếu m = 0 thì PT (4) trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm.

⇒ Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

- Kết luận:

Với m ≠ 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\small (x;y)=\left (\frac{m^2+1}{m^2};\frac{m+1}{m^2} \right )$ .

Với m = 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

• Dạng 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa điều kiện cho trước.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm(x; y) theo tham số m;

+ Bước 2: Thế nghiệm (x; y) vào biểu thức điều kiện cho trước rồi giải tìm m;

+ Bước 3: Kết luận giá trị m.

* Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} 3x-y=2m+3\: \: (1)\\ x+2y=3m+1 \: \: (2)\end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x² + y² = 5.

* Lời giải:

- Nhân PT (1) với 2 và PT (2) với 1, ta được:

$\small \left\{\begin{matrix} 6x-2y=4m+6\: \: (3)\\ x+2y=3m+1 \: \: (4)\end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế của PT (3) và PT (4), ta được:

7x = 7m + 7 ⇔ x = m + 1

⇒ 2y = 3m + 1 - x = 3m + 1 - (m + 1) = 2m.

⇒ y = m.

Thế x = m + 1 và y = m vào điều kiện yêu cầu được: (m + 1)² + (m)² = 5

⇔ m² + 2m + 1 + m² = 5 ⇔ 2m² + 2m - 4 = 0

⇔ m² + m - 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = -2 (nhẩm theo Vi-ét, thấy phương trình bậc 2 theo m có a - b + c = 0).

- Kết luận: Vậy với m = 1 hoặc m = - 2 thì phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x² + y² = 5.

Khi đó có thể thấy cặp nghiệm tương ứng của hệ là (x;y) = (2;1) hoặc (x;y) = (-1;-2)

* Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=m+1\: \: (1)\\ x+(m-1)y=2 \: \:\: \: \: (2)\end{matrix}\right.$

Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mã (x + y) đạt giá trị nhỏ nhất:

* Lời giải:

- Theo lời giải của phần ví dụ ở dạng 2 ta đã giải hệ trên có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0 là: $\small (x;y)=\left (\frac{m^2+1}{m^2};\frac{m+1}{m^2} \right )$

Ta có: $\small x+y=\frac{m^2+1}{m^2}+\frac{m+1}{m^2}$ $\small =\frac{m^2+m+2}{m^2}=1+\frac{1}{m}+\frac{2}{m^2}$

Đặt $\small t=\frac{1}{m}$ ta được:

$\small x + y = 2t^2 + t + 1 =2\left ( t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{2} \right )$

$\small =2\left [ \left (t+\frac{1}{4} \right )^2+\frac{7}{16} \right ]=2 \left ( t+\frac{1}{4} \right )^2+\frac{7}{8}\geq \frac{7}{8}$

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\small t+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{m}=-\frac{1}{4}\Rightarrow m=-4$

- Kết luận: Vậy với m = -4 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN bằng 7/8.

• Dạng 4: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m;

+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m;

+ Bước 3: Kết luận.

* Ví dụ: Cho hệ phương trình: $\small \left\{\begin{matrix} x+my=1\\ mx-y=-m \end{matrix}\right.$

a) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất (x;y) với mọi giá trị của m.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m.

* Lời giải:

a) Ta có: $\small \left\{\begin{matrix} x+my=1\\ mx-y=-m \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-my\\ m(1-my)-y=-m \end{matrix}\right.$

Từ PT: m(1-my) - y = - m

⇔ m -m²y - y = -m ⇔ 2m = y(m² + 1)

$\small \Leftrightarrow y=\frac{2m}{m^2+1}$ $\small \Rightarrow x=1-m.\frac{2m}{m^2+1}=\frac{1-m^2}{m^2+1}$

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất: $\small (x;y)=\left ( \frac{2m}{m^2+1};\frac{1-m^2}{m^2+1}\right )$

b) Ta thấy:

$\small x^2+y^2=\left ( \frac{1-m^2}{m^2+1} \right )^2+\left ( \frac{2m}{m^2+1} \right )$

$\small =\frac{1-2m^2+m^4}{m^4+2m^2+1}+ \frac{4m^2}{m^4+2m^2+1}$ $\small = \frac{1+2m^2+m^4}{m^4+2m^2+1}=1$

- Kết luận: Vậy x² + y² = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m.

• Bài tập về hệ phương trình chứa tham số (tự giải)

* Bài tập 1: Cho hệ phương trình (a là tham số): $\small \left\{\begin{matrix} ax-y=4\\ x-2y=5 \end{matrix}\right.$

a) Giải hệ phương trình với a = 2.

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa x.y<0

c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệp duy nhất thỏa x =|y|.

* Bài tập 2: Cho hệ phương trình (m là tham số): $\small \left\{\begin{matrix} mx+y=2m\\ x+my=m+1 \end{matrix}\right.$

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x≥2 và y≥1.

* Bài tập 3: Cho hệ phương trình (a là tham số): $\small \left\{\begin{matrix} mx+y=m+1\\ (m-1)x+y=2 \end{matrix}\right.$

a) Giải hệ phương trình khi a = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì hệ PT luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn: 2x + y ≤ 3.

* Đáp án bài tập về hệ phương trình tham số

- Đáp án bài tập 1:

a) Nghiệm (x;y) = (1;-2)

b) Với m>4/5 thì x.y<0

c) Với m = 7/5 thì hệ pt có nghiệm thỏa x = |y|.

* Đáp án bài tập 2:

a) Nghiệm (x;y) = (7/4;3/4)

b) Với m<-1thì hệ pt có nghiệm thỏa x≥2 và y≥1.

* Đáp án bài tập 3:

a) Nghiệm (x;y) = (1;1)

b) 2x + y = 3 - (m - 2)² ≤ 3 với mọi m.

Tóm lại, với bài viết Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m ở trên, HayHocHoi hy vọng sẽ giúp các em có thể vận dụng để giải được một số dạng bài tập như: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m (biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m); Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất; Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m,...

Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m - Toán 9 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét