Cách giải hệ phương trình có chứa tham số m (mới, chi tiết, đầy đủ) - Toán 9 chuyên đề

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập và phương pháp giải chi tiết cho chuyên đề này.

Dạng 1: Giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước

Đây là dạng toán cơ bản nhất, yêu cầu thay giá trị cụ thể của tham số vào hệ để giải.

• Phương pháp giải:

  • Bước 1: Thay giá trị tham số $m$ đã cho vào hệ phương trình.

  • Bước 2: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình vừa nhận được.

  • Bước 3: Kết luận nghiệm $(x; y)$.

• Ví dụ: Cho hệ $\begin{cases} 2x - y = 2m + 3 \\ x + y = 3m + 1 \end{cases}$. Giải hệ với $m = 1$.

  • Với $m = 1$, hệ trở thành: $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases}$.

  • Cộng hai phương trình ta được $3x = 9 \Leftrightarrow x = 3$.

  • Thay $x = 3$ vào phương trình thứ hai: $3 + y = 4 \Leftrightarrow y = 1$.

  • Kết luận: Với $m = 1$, hệ có nghiệm $(3; 1)$.

Dạng 2: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số $m$

Dạng toán này yêu cầu xác định điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

• Phương pháp giải:

  • Bước 1: Đưa hệ phương trình về một phương trình bậc nhất một ẩn dạng $ax + b = 0$ (hoặc $ay + b = 0$).

  • Bước 2: Biện luận phương trình $ax = -b$ (*):

    • Nghiệm duy nhất: Nếu $a \neq 0$, phương trình (*) có nghiệm duy nhất $x = -b/a$. Từ đó tìm được $y$ duy nhất.

    • Vô nghiệm: Nếu $a = 0$ và $b \neq 0$, phương trình (*) vô nghiệm, dẫn đến hệ vô nghiệm.

    • Vô số nghiệm: Nếu $a = 0$ và $b = 0$, phương trình (*) có vô số nghiệm, dẫn đến hệ có vô số nghiệm.

  • Bước 3: Kết luận theo yêu cầu của đề bài.

Dạng 3: Tìm tham số để nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Điều kiện có thể là các biểu thức về giá trị của $x, y$ (như $x^2 + y^2 = k$), hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

• Phương pháp giải:

  • Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm $(x; y)$ theo tham số $m$.

  • Bước 2: Thay $x, y$ vừa tìm được vào biểu thức điều kiện đề bài cho.

  • Bước 3: Giải phương trình hoặc bất phương trình đối với $m$ và kết luận.

• Ví dụ: Tìm $m$ để hệ $\begin{cases} (m+1)x - y = m + 1 \\ x + (m-1)y = 2 \end{cases}$ có nghiệm thỏa mãn $(x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN).

  • Giải hệ theo $m$ (với $m \neq 0$), ta có nghiệm: $x = \frac{m^2+1}{m^2}; y = \frac{m+1}{m^2}$.

  • Xét biểu thức: $x + y = \frac{m^2 + m + 2}{m^2} = 1 + \frac{1}{m} + \frac{2}{m^2}$.

  • Đặt $t = \frac{1}{m}$, ta được $f(t) = 2t^2 + t + 1 = 2(t + \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}$.

  • Giá trị này đạt GTNN là $7/8$ khi $t = -1/4 \Leftrightarrow m = -4$.

Dạng 4: Tìm mối liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc vào tham số $m$

• Phương pháp giải:

  • Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm $(x; y)$ theo $m$.

  • Bước 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc thế để khử tham số $m$ khỏi biểu thức chứa cả $x$ và $y$.

  • Bước 3: Kết luận hệ thức liên hệ.

• Ví dụ: Cho hệ $\begin{cases} x + my = 1 \\ mx - y = -m \end{cases}$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc $m$.

  • Giải hệ ta được: $x = \frac{1-m^2}{m^2+1}; y = \frac{2m}{m^2+1}$.

  • Ta thấy: $x^2 + y^2 = \left(\frac{1-m^2}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{2m}{m^2+1}\right)^2 = \frac{m^4 - 2m^2 + 1 + 4m^2}{(m^2+1)^2} = \frac{(m^2+1)^2}{(m^2+1)^2} = 1$.

  • Kết luận: Hệ thức liên hệ là $x^2 + y^2 = 1$.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập 1: Cho hệ $\begin{cases} ax - y = 4 \\ x - 2y = 5 \end{cases}$. Tìm $a$ để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x \cdot y < 0$ (Đáp số: $a > 4/5$).

2. Bài tập 2: Cho hệ $\begin{cases} mx + y = 2m \\ x + my = m + 1 \end{cases}$. Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x \geq 2$ và $y \geq 1$ (Đáp số: $m < -1$).

3. Bài tập 3: Cho hệ $\begin{cases} mx + y = m + 1 \\ (m - 1)x + y = 2 \end{cases}$. Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất thỏa mãn $2x + y \leq 3$ với mọi $m$.

Đáp án bài tập tự luyện chuyên đề Hệ phương trình chứa tham số $m$

Bài tập 1: Cho hệ $\begin{cases} ax - y = 4 \\ x - 2y = 5 \end{cases}$

• Câu a: Khi $a = 2$, hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; -2)$.

• Câu b: Để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x \cdot y < 0$:

  • Điều kiện nghiệm duy nhất: $a \neq \frac{1}{2}$.

  • Giải hệ theo $a$: $x = \frac{3}{2a-1}$ và $y = \frac{5a-4}{2(2a-1)}$.

  • Để $x \cdot y < 0$, sau khi xét dấu ta được: $a > \frac{4}{5}$.

• Câu c: Để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x = |y|$:

  • Thay $|y|$ vào phương trình, giải các trường hợp ta tìm được $a = \frac{7}{5}$.

Bài tập 2: Cho hệ $\begin{cases} mx + y = 2m \\ x + my = m + 1 \end{cases}$

• Câu a: Khi $m = 3$, hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left( \frac{7}{4}; \frac{3}{4} \right)$.

• Câu b: Để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x \geq 2$ và $y \geq 1$:

  • Điều kiện nghiệm duy nhất: $m \neq \pm 1$.

  • Nghiệm theo $m$: $x = \frac{2m^2-m-1}{m^2-1} = \frac{2m+1}{m+1}$ và $y = \frac{m^2-m}{m^2-1} = \frac{m}{m+1}$.

  • Giải các bất phương trình $x \geq 2$ và $y \geq 1$ kết hợp điều kiện, ta được kết quả: $m < -1$.

Bài tập 3: Cho hệ $\begin{cases} mx + y = m + 1 \\ (m - 1)x + y = 2 \end{cases}$

• Câu a: Khi $m = 2$, hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 1)$.

• Câu b: Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất thỏa mãn $2x + y \leq 3$:

  • Trừ hai phương trình của hệ: $[m - (m - 1)]x = m + 1 - 2 \Rightarrow x = m - 1$.

  • Thay $x$ tìm được $y = 2 - (m-1)^2 = -m^2 + 2m + 1$.

  • Xét biểu thức $2x + y = 2(m-1) - m^2 + 2m + 1 = -m^2 + 4m - 1$.

  • Biến đổi: $2x + y = 3 - (m - 2)^2$.

  • Vì $-(m - 2)^2 \leq 0$ nên $2x + y \leq 3$ luôn đúng với mọi $m$.