Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Vậy cách viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyz như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.

Các em có thể xem lại nội dung Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình đường thẳng trong Oxyz  nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.

° Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz 

- Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng (d). Hãy viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).

* Phương pháp

- Bước 1: Viết phương trình mp(Q) chứa (d) và vuông góc với mp(P).

- Bước 2: Hình chiếu cần tìm d'= (P)∩(Q)

> Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P)

* Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:  trên mp(P): x - 2y + z + 5 = 0.

* Lời giải:

- Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng:

 m(x - 2z) + n(3x - 2y + z - 3) = 0

 ⇔ (m + 3n)x - 2ny + (-2m + n)z - 3n = 0

 - Vì Q ⊥ P ta có:

 1.(m + 3n) - 2(-2n) + 1.(-2m + n) = 0

 ⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0

 ⇔ -m + 8n = 0

 ⇔ m = 8n

- Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0

- Vì hình chiếu d’ của (d) trên mp(P) nên d' là giao tuyến của mp(P) và mp(Q).

Phương trình của d’ sẽ là:

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d' trên (P) biết phương trình mặt phẳng (P): x - y + z - 1 = 0 và phương trình đường thẳng d' là: 

* Lời giải:

- Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương 

- Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là: 

- Mặt phẳng (Q) chứa d' và vuông góc với (P) có:

Ta thấy N(1;2;-1) điểm thuộc d' cũng thuộc (Q)

- Phương trình mặt phẳng (Q) là:

1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 

⇔  x – z – 2 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:

Chọn x = t, suy ra: 

Vậy phương trình đường thẳng (d) là: