Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Vậy cách viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.

Các em có thể xem lại nội dung Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình đường thẳng trong Oxyz  nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.

° Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz

- Cho mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0; Hãy viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (p) và (Q).

* Phương pháp:

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Giải hệ  ta tìm 1 nghiệm (x₀;y₀;z₀) bằng cách cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định, rồi giải hệ tìm giá trị 2 ẩn còn lại, ta được 1 điểm M₀(x₀;y₀;z₀) ∈ (d).

- Bước 2: Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là: =

- Bước 3: Viết PT đường thẳng (d) qua M₀ và có VTCP .

+ Cách giải 2: 

- Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)

- Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.

+ Cách giải 3:

- Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng (P): 2x + y - z - 3=0 và (Q): x + y + z - 1=0.

* Lời giải:

- Ta sẽ tìm 2 điểm A, B nằm trên (d) là nghiệm của hệ PT: 

- Cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = - 1 ⇒ A(2;-1;0)

- Cho z = 1 ⇒ x = 4 và y = - 4 ⇒ B(4;-4;1)

 ⇒ 

⇒ Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2;-1;0) và có VTCP  có PTCT là:

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

* Lời giải:

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t suy ra 

Chính là phương trình tham số của đường thẳng (d).

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y + 1 = 0 và (Q): x - y + z - 1 = 0

* Lời giải:

- Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) là: 

- Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (Q) là: 

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ 

Vậy điểm N(0;-1;0) thuộc đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là: