Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Vậy cách viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.

Các em có thể xem lại nội dung Lý thuyết và các dạng bài tập Phương trình đường thẳng trong Oxyz nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.

° Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (∝) và cắt 2 đường thẳng d₁, d₂ trong Oxyz

- Cho trước phương trình đường thẳng d₁, d₂ và mp(∝). Hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz.

* Phương pháp 1:

- Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d₁ và vuông góc với (P).

- Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d₂ và vuông góc với (P).

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).

* Phương pháp 2:

- Bước 1: Giả sử d cắt d₁ và d₂ là lượt tai A và B, ta tham số hóa 2 điểm A ∈ d₁ và B ∈ d₂(theo ẩn t và s).

- Bước 2: Do (d) ⊥ (P) nên $\small \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{n}_P\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{n}_P$ giải hệ tìm được t và s

- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A có CTCP $\dpi{100} \small \overrightarrow{AB}$ .

*Ví dụ 1: Trong không gian oxyz, cho 2 đường thẳng: $small dpi{100} fn_cm small d_{1}: frac{x}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z+2}{1};$ $small d_{2}: left{egin{matrix} x=-1+2t y=1+t z=3 end{matrix} ight. tin mathbb{R}$ , và mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với (P) và cắt đường thẳng d₁ , d₂.

* Lời giải:

- Phương trình tham số của d₁: small left{egin{matrix} x=2s y=1-s z=-2+s end{matrix}
ight.

- Giả sử A,B lần lượt là giao điểm của Δ với d₁ và d₂ ta có:

A(2s;1 - s;-2 + s), B(-1 + 2t;1 + t;3)

- VTCP của Δ là: small overrightarrow{AB} small =(-1+2t-2s;t+s;5-s)

- VTPT của (P) là: $small overrightarrow{n_{p}}=(7;1;-4)$

- do Δ ⊥ (P) nên small overrightarrow{AB} // $small overrightarrow{n_{p}}$ , tức ta có:

$small frac{2t-2s-1}{7}=frac{t+s}{1}=frac{5-s}{-4}$

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow left{egin{matrix} 2t-2s-1=7t+7s 4(t+s)=s-5 end{matrix} ight.$

small Leftrightarrow left{egin{matrix} t=-2 s=1 end{matrix}
ight.

small Rightarrow overrightarrow{AB}=(-7;-1;4)

⇒ Phương trình đường thẳng Δ qua A(2;0;-1) có VTCP small overrightarrow{AB} có PTTQ là:

$small dpi{100} fn_cm small frac{x-2}{-7}=frac{y}{-1}=frac{z+1}{4}$

* Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và cắt cả 2 đường thẳng d₁: $\small \left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=t \end{matrix}\right.$ và d₂: $\small \left\{\begin{matrix} x=-1+s\\ y=-1\\ z=-s \end{matrix}\right.$

* Lời giải:

- Lấy A ∈ d₁ suy ra A(1+2t; -1-t;t)

và B ∈ d₂ suy ra B (-1+s; -1;-s)

Suy ra: $\small \overrightarrow{AB}=(s-2t-2;t;-s-t)$

Có $\small \overrightarrow{n}_p=(1;1;1)$

- Vì (d) ⊥ (P) nên suy ra: $\small \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{n}_p$

$\small \Rightarrow \frac{s-2t-2}{1}=\frac{t}{1}=\frac{-s-t}{1}$

$\small \Rightarrow \left\{\begin{matrix} s=4/5\\ t=-2/5 \end{matrix}\right.\Rightarrow A\left ( \frac{1}{5};\frac{-3}{5};\frac{-2}{5} \right )$

Vậy phương trình đường thẳng (d) dạng chính tắc là:

$\small \frac{x-\frac{1}{5}}{1}=\frac{y+\frac{3}{5}}{1}=\frac{z+\frac{2}{5}}{1}$

hay phương trình tham số của (d) là: $\small \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5}+t\\ y=\frac{-3}{5}+t\\ z=\frac{-2}{5}+t \end{matrix}\right.$

>> xem ngay: Các dạng bài tập phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Hy vọng với bài viết về cách viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ. Chúc các em học tập tốt!

Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz - Toán 12 chuyên đề

Tags:

Đánh giá & nhận xét