Các dạng toán về Tập hợp và bài tập vận dụng - toán lớp 10

Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ lí thuyết về tập hợp và hướng dẫn bạn cách giải các dạng bài tập phổ biến.

I. Lý thuyết về Tập hợp

1. Tập hợp

- Cho tập hợp A

  + Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a ∈ A.

  + Nếu a là phần tử không thuộc tập a ta viết a ∉ A.

2. Một tập hợp xác định bởi

a) Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp

- Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấu{}, các phần tử cách nhau bằng dấu phẩy (,) hoặc chấm phẩy (;).

 Ví dụ: A = {1,2,3,4,5,6}

b) Viết tập hợp bằng cách nếu tính chất đặc trưng của tập

- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó

 Ví dụ: 

- Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ ven.

Biểu diễn tập hợp bằng biểu đồ VEN

3. Tập hợp rỗng

- Là tập hợp không chứa phần tử nào, Ký hiệu là Ø

 A ≠ Ø ⇔ ∃x: x ∈ A

4. Tập hợp con của một tập hợp

- Cho 2 tập A, B:

- Lưu ý:

 •    và  ⇒ 

 • Tập A có n phần tử thì A có 2ⁿ tập con.

5. Hai tập hợp bằng nhau

- Cho 2 tập A, B: A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

6. Một số tập hợp số

a) Các tập hợp số

- Tập hợp số tự nhiên: 

- Tập hợp số tự nhiên khác 0:

- Tập hợp số nguyên: 

- Tâp hợp số hữu tỉ: 

 ⇒ Tập hợp các số hữu tỉ gồm các số thập phân hữu hạn và thập phân vô hạn tuần hoàn

- Tập hợp số vô tỉ:  = {tập hợp các số thập phân vô hạn không tuần hoàn}

- Tập hợp số thực:  gồm tập hợp tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ được biểu diễn bằng trục số.

b) Mối quan hệ giữa các tập hợp số

Biểu đồ VEN thể hiện quan hệ giữa các tập số

7. Các phép toán trên tập hợp

a) Phép giao

  • 

  • 

  • 

b) Phép hội

  • 

  •

  •

c) Phép hiệu

  • AB = {x| x∈ A và x ∉ B}

  • AA = ∅

  • A∅ = A

  • AB ≠ BA

d) Phép lấy phần bù:

Khi B ⊂ A: 

» Xem thêm: Các dạng toán về Mệnh đề cực hay

II. Các dạng bài tập về Tập hợp

 • Dạng 1. Xác định tập hợp

* Phương pháp:

- Liệt kê các phần tử của tập hợp: A = {a₁, a₂, a₃,...}

- Nêu tính đặc trưng của tập hợp: A = {x ∈ X| p(x)}

 Ví dụ 1: Tìm tập hợp các số tự nhiên chẵn khác 0 và nhỏ hơn 10

* Hướng dẫn:

-  Ta liệt kê các phần tử: A = {2,4,6,8} hoặc A = {x ∈ N^* | x = BS(2) và x < 10}

 Ví dụ 2: Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình: x(x-1)(x-2)(x²-1) = 0

* Hướng dẫn:

- Liệt kê: A = {0, -1, 1, 2} 

- A = {x ∈ Z | x(x-1)(x-2)(x²-1) = 0} ⇔ A = {x ∈ Z | x(x-2)(x²-1) = 0} 

 Ví dụ 3: Viết tập hợp A = {2,3} bằng cách nêu ra tính chất đặc trưng của nó.

* Hướng dẫn:

- Ta có thể viết như sau:

 A = {x ∈ N | 1 < x < 4}

 A = {x ∈ N | 2 ≤ x ≤ 3}

 A = {x ∈ N | (x-2)(x-3) = 0}

 A = {x ∈ N | x² - 5x + 6 = 0}

 • Dạng 2. Tập hợp con, Tập hợp bằng nhau

* Phương pháp: Áp dụng định nghĩa

+) 

+) A ⊄ B ⇔ ∃x ∈ A ⇒ x ∉ B

+) A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

+) A ≠ B ⇔ A ⊄  B hoặc B ⊄  A

 Ví dụ 1: Cho 2 tập hợp A = {x ∈ Z| x³ - 2x² - x + 2 = 0} và B = {x ∈ Z| x² - 3x + 2 = 0} hãy đặt dấu ⊂ và ⊄ giữa A và B.

* Hướng dẫn:

- Ta liệt kê các phần tử tập A và B: A = {-1; 1; 2} , B = {1; 2}

⇒ B ⊂ A

 Ví dụ 2: Cho A = {x | x(x-1)(x-2) = 0} Tìm các tập con của A và tập con đó có chứa phần tử 0.

* Hướng dẫn:

- Liệt kê số phần tử của A = {0; 1; 2} vậy tập A có 2³ = 8 tập con như sau:

 {0}, {1}, {2}, {0;1}, {0;2}, {1;2} , {0;1;2} và Ø

⇒ Các tập có chứa phần tử 0 là: {0}, {0;1}, {0;2}, {0;1;2}

 Ví dụ 3: Cho tập hợp,

 Xác định =, ≠ giữa A và B

* Hướng dẫn:

- Ta có: A = [-2;0) U (0;3] và B = (-2;0) U (0;3)

⇒ A ≠ B

 Ví dụ 4: Cho các tập hợp: E = {-3; 4}, F = {-3; x²} , G = {-3; x²; y}. Xác định x, y để E=F=G.

* Hướng dẫn:

- Để  E = F thì  x² = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2

- Để F = G thì y = - 3 hoặc y = x² = 4

⇒ Để E = F = G  thì x = ±2 và y = -3 hoặc y = 4;

 • Dạng 3. Các phép toán trên tập hợp, Giao, Hợp, Hiệu

* Phương pháp: Áp dụng định nghĩa

- Liệt kê A, B

- A ∩ B : Lấy các phần tử giống nhau của A và B

- A U B : Lấy tất cả các phần tử của A, của B và của A ∩ B (chung)

- A B: Lấy các phần tử của A và không phải của B

Ví dụ 1: Cho 2 tập hợp A = {x ∈ R | x² - 4x + 3 ≤ 0} và A = {x ∈ R | x² - 3x + 2 ≤ 0}  tính A U B,  A ∩ B, A B và B  A.

* Hướng dẫn:

- Liệt kê: A = {1;3} và B = {1;2} ta có:

 A U B = {1;2;3} , A ∩ B = {1} ,  A B = {3} , B  A = {2}

 Ví dụ 2: Cho 2 tập hợp A = {x ∈ R | x² - 4x + 3 = 0} và A = {x ∈ R | x² - 3x + 2 = 0}  tính A U B,  A ∩ B, A B và B  A.

* Hướng dẫn:

- Liệt kê: A = [1;3] và B = [1;2] ta có:

 A U B = [1;3] , A ∩ B = [1;2] ,  A B = (2;3] , B  A = ∅

 • Dạng 4. Giải toán bằng biểu đồ VEN

* Phương pháp: Áp dụng định nghĩa

 Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A đều biết chơi cờ tướng hoặc cờ vua, biết rằng có 25 em biết chơi cờ tướng, 30 em biết chơi cờ vua, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ tướng? Bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ vua? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

* Hướng dẫn: 

- Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:

- Dựa vào sơ đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết chơi cờ tướng là 25 - 15 = 10.

- Số học sinh chỉ biết chơi cờ vua là: 30 - 15 = 15.

- Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A là: 10 + 15 + 15 = 40 học sinh.

 Ví dụ 2: Lớp 10B có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 66 em không thích môn nào, 55 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

* Hướng dẫn:

- Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:

- Gọi: a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán.

 x là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.

 y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và Toán.

 z là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.

- Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 - 6 = 39.

- Dựa vào sơ đồ Ven ta có hệ phương trình:

(I)  

- Giải hệ phương trình (I) bằng cách cộng vế với vế 3 phương trình đầu ta có:

 a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 63 kết hợp với phương trình cuối của hệ: x + y + z + a + b + c + 5 = 39 ta được:

a + b + c + 2(39 - 5 - a - b - c) + 15 = 63 ⇒ a + b + c = 20

⇒ Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

III. Một số bài tập rèn luyện

Bài 1: a) Cho A = {x ϵ N | x < 20 và x chia hết cho 3}.

Hãy liệt kê các phần tử của A.

b) Cho B = {2, 6, 12, 20, 30}.

Hãy xách định B bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

c) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao trên 1m60.

Lời giải:

a) Tập hợp A là tập các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20.

 Vậy A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

b) Nhận thấy: 2 = 1.2 ; 6 = 2.3 ; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ; 30 = 5.6

 Vậy B = {x = n(n + 1) | n ∈ N* và n ≤ 5}

c) Ví dụ: C = {Tuấn, Phúc, Trang, Linh}.

Bài 2: Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập hợp con của tập còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không?

a) A là tập hợp các hình vuông;  B là tập hợp các hình thoi.

b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 24 và 30};  B = { n ∈ N | n là một ước của 6}.

Lời giải:

a) Vì mỗi hình vuông đều là một hình thoi nên A ⊂ B. Có những hình thoi không phải là hình vuông nên B ⊄ A.

⇒ Vậy A ≠ B.

b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 24 và 30} = {1; 2; 3; 6}. B = {n ∈ N | n là một ước của 6} = {1; 2; 3; 6}.

- Ta thấy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B.

Bài 3: Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau:

a) A = {a; b}

b) B = {0; 1; 2}

Lời giải:

a) A = {a; b} có 2² = 4 các tập con đó là: ∅; {a}; {b}; {a; b}

b) B = {0; 1; 2} có 2³ = 8 các tập con đó là: ∅; {0}; {1} ; {2} ; {0, 1} ; {0, 2} ; {1, 2} ; {0; 1; 2}.

Bài 4: Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi

a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?

b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

Lời giải:

a) Các bạn được HLG = 15.

- Các bạn được HKT = 20.

- Số bạn HLT + HKT = 10.

⇒ Số bạn được HKT mà không được HLG = 15 – 10 = 5.

⇒ Số bạn được HLG mà không được HKT = 20 – 10 = 10.

⇒ Vậy số bạn được khen thưởng = (số bạn được HKT mà không được HLG)

+ (số bạn được HLG mà không được HKT)

+ (số bạn vừa được HLG, vừa được HKT)

= 5 + 10 + 10 = 25 (bạn).

b) Số học sinh chưa được xếp loại HLG và chưa có HKT là: 45 – 25 = 20 (bạn).