Hotline 0939 629 809

Các dạng toán về Tập hợp và bài tập vận dụng - toán lớp 10

16:04:1611/04/2019

Tập hợp có thể hiểu là sự gom nhóm hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó, cùng có một đặc điểm đặc trưng nào đó giống nhau, như tập hợp các số tự nhiên, số hữu tỉ và số thực mà các em đã biết

Vậy làm sao để xác định một tập hợp? tập hợp rỗng (trống) là tập như thế nào? trên tập hợp có các phép toán gì? và tập hợp có các dạng toán nào? chúng ta cùng tìm câu trả lời qua bài viết hệ thống lại kiến thức về tập hợp và cách giải các dạng toán về tập hợp dưới đây.

I. Lý thuyết về Tập hợp

1. Tập hợp

- Cho tập hợp A

  + Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a ∈ A.

  + Nếu a là phần tử không thuộc tập a ta viết a ∉ A.

2. Một tập hợp xác định bởi

a) Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp

- Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấu{}, các phần tử cách nhau bằng dấu phẩy (,) hoặc chấm phẩy (;).

 Ví dụ: A = {1,2,3,4,5,6}

b) Viết tập hợp bằng cách nếu tính chất đặc trưng của tập

- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó

 Ví dụ: 

- Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ ven.

biểu diễn tập hợp bằng biểu đồ VENBiểu diễn tập hợp bằng biểu đồ VEN

3. Tập hợp rỗng

- Là tập hợp không chứa phần tử nào, Ký hiệu là Ø

 A ≠ Ø ⇔ ∃x: x ∈ A

4. Tập hợp con của một tập hợp

- Cho 2 tập A, B:

- Lưu ý:

 •    và  ⇒ 

 • Tập A có n phần tử thì A có 2n tập con.

5. Hai tập hợp bằng nhau

- Cho 2 tập A, B: A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

6. Một số tập hợp số

a) Các tập hợp số

- Tập hợp số tự nhiên: 

- Tập hợp số tự nhiên khác 0:

- Tập hợp số nguyên: 

- Tâp hợp số hữu tỉ: 

 ⇒ Tập hợp các số hữu tỉ gồm các số thập phân hữu hạn và thập phân vô hạn tuần hoàn

- Tập hợp số vô tỉ:  = {tập hợp các số thập phân vô hạn không tuần hoàn}

- Tập hợp số thực:  gồm tập hợp tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ được biểu diễn bằng trục số.

b) Mối quan hệ giữa các tập hợp số

biểu đồ VEN thể hiện quan hệ giữa các tập số biểu đồ VEN thể hiện quan hệ giữa các tập số

7. Các phép toán trên tập hợp

a) Phép giao

  • 

  • 

  • 

b) Phép hội

  • 

  •

  •

c) Phép hiệu

  • AB = {x| x∈ A và x ∉ B}

  • AA = 

  • A = A

  • AB ≠ BA

d) Phép lấy phần bù: Khi B ⊂ A: 

II. Các dạng bài tập toán về Tập hợp

  Dạng 1. Xác định tập hợp

* Phương pháp:

- Liệt kê các phần tử của tập hợp: A = {a1, a2, a3,...}

- Nêu tính đặc trưng của tập hợp: A = {x ∈ X| p(x)}

 Ví dụ 1: Tìm tập hợp các số tự nhiên chẵn khác 0 và nhỏ hơn 10

* Hướng dẫn:

-  Ta liệt kê các phần tử: A = {2,4,6,8} hoặc A = {x ∈ N| x = BS(2) và x < 10}

 Ví dụ 2: Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình: x(x-1)(x-2)(x2-1) = 0

* Hướng dẫn:

- Liệt kê: A = {0, -1, 1, 2} 

- A = {x ∈ Z | x(x-1)(x-2)(x2-1) = 0} ⇔ A = {x ∈ Z | x(x-2)(x2-1) = 0} 

 Ví dụ 3: Viết tập hợp A = {2,3} bằng cách nêu ra tính chất đặc trưng của nó.

* Hướng dẫn:

- Ta có thể viết như sau:

 A = {x ∈ N | 1 < x < 4}

 A = {x ∈ N | 2 ≤ x ≤ 3}

 A = {x ∈ N | (x-2)(x-3) = 0}

 A = {x ∈ N | x2 - 5x + 6 = 0}

  Dạng 2. Tập hợp con, Tập hợp bằng nhau

* Phương pháp: Áp dụng định nghĩa

+) 

+) A ⊄ B ⇔ ∃x ∈ A ⇒ x ∉ B

+) A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

+) A ≠ B ⇔ A ⊄  B hoặc B ⊄  A

 Ví dụ 1: Cho 2 tập hợp A = {x ∈ Z| x3 - 2x2 - x + 2 = 0}B = {x ∈ Z| x2 - 3x + 2 = 0} hãy đặt dấu ⊂ và ⊄ giữa A và B.

* Hướng dẫn:

- Ta liệt kê các phần tử tập A và B: A = {-1; 1; 2} , B = {1; 2}

⇒ B ⊂ A

 Ví dụ 2: Cho A = {x | x(x-1)(x-2) = 0} Tìm các tập con của A và tập con đó có chứa phần tử 0.

* Hướng dẫn:

- Liệt kê số phần tử của A = {0; 1; 2} vậy tập A có 23 = 8 tập con như sau:

 {0}, {1}, {2}, {0;1}, {0;2}, {1;2} , {0;1;2} và Ø

⇒ Các tập có chứa phần tử 0 là: {0}, {0;1}, {0;2}, {0;1;2}

 Ví dụ 3: Cho tập hợp,

 

 

 Xác định =, ≠ giữa A và B

* Hướng dẫn:

- Ta có: A = [-2;0) U (0;3] và B = (-2;0) U (0;3)

⇒ A ≠ B

 Ví dụ 4: Cho các tập hợp: E = {-3; 4}, F = {-3; x2} , G = {-3; x2; y}. Xác định x, y để E=F=G.

* Hướng dẫn:

- Để  E = F thì  x2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2

- Để F = G thì y = - 3 hoặc y = x2 = 4

⇒ Để E = F = G  thì x = ±2 và y = -3 hoặc y = 4;

  Dạng 3. Các phép toán trên tập hợp, Giao, Hợp, Hiệu

* Phương pháp: Áp dụng định nghĩa

- Liệt kê A, B

- A ∩ B : Lấy các phần tử giống nhau của A và B

- A U B : Lấy tất cả các phần tử của A, của B và của A ∩ B (chung)

- A B: Lấy các phần tử của A và không phải của B

Ví dụ 1: Cho 2 tập hợp A = {x ∈ R | x2 - 4x + 3 ≤ 0}A = {x ∈ R | x2 - 3x + 2 ≤ 0}  tính A U B,  A ∩ B, A B và B  A.

* Hướng dẫn:

- Liệt kê: A = {1;3} và B = {1;2} ta có:

 A U B = {1;2;3} , A ∩ B = {1} ,  A B = {3} , B  A = {2}

 Ví dụ 2: Cho 2 tập hợp A = {x ∈ R | x2 - 4x + 3 = 0} và A = {x ∈ R | x2 - 3x + 2 = 0}  tính A U B,  A ∩ B, A B và B  A.

* Hướng dẫn:

Liệt kê: A = [1;3] và B = [1;2] ta có:

 A U B = [1;3] , A ∩ B = [1;2] ,  A B = (2;3] , B  A = ∅

  Dạng 4. Giải toán bằng biểu đồ VEN

* Phương pháp: Áp dụng định nghĩa

 Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A đều biết chơi cờ tướng hoặc cờ vua, biết rằng có 25 em biết chơi cờ tướng, 30 em biết chơi cờ vua, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ tướng? Bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ vua? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

* Hướng dẫn: 

- Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:

giải toán bằng biểu đồ VEN- Dựa vào sơ đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết chơi cờ tướng là 25 - 15 = 10.

- Số học sinh chỉ biết chơi cờ vua là: 30 - 15 = 15.

- Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A là: 10 + 15 + 15 = 40 học sinh.

 Ví dụ 2: Lớp 10B có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 66 em không thích môn nào, 55 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

* Hướng dẫn:

- Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:

giải toán bằng biểu đồ VEN- Gọi: a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán.

 x là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.

 y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và Toán.

 z là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.

- Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 - 6 = 39.

- Dựa vào sơ đồ Ven ta có hệ phương trình:

(I)  

- Giải hệ phương trình (I) bằng cách cộng vế với vế 3 phương trình đầu ta có:

 a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 63 kết hợp với phương trình cuối của hệ: x + y + z + a + b + c + 5 = 39 ta được:

a + b + c + 2(39 - 5 - a - b - c) + 15 = 63 ⇒ a + b + c = 20

⇒ Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

III. Một số bài tập về Tập hợp

Bài 1 trang 13 SGK Đại số 10: a) Cho A = {x ϵ N | x < 20 và x chia hết cho 3}.

Hãy liệt kê các phần tử của A.

b) Cho B = {2, 6, 12, 20, 30}.

Hãy xách định B bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

c) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao trên 1m60.

* Lời giải bài 1 trang 13 SGK Đại số 10:

a) Tập hợp A là tập các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20.

 Vậy A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

b) Nhận thấy: 2 = 1.2 ; 6 = 2.3 ; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ; 30 = 5.6

 Vậy B = {x = n(n + 1) | n ∈ N* và n ≤ 5}

c) Ví dụ: C = {Tuấn, Phúc, Trang, Linh}.

Bài 2 trang 13 SGK Đại số 10: Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập hợp con của tập còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không?

a) A là tập hợp các hình vuông;  B là tập hợp các hình thoi.

b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 24 và 30};  B = { n ∈ N | n là một ước của 6}.

* Lời giải bài 2 trang 13 SGK Đại số 10: 

a) Vì mỗi hình vuông đều là một hình thoi nên A ⊂ B. Có những hình thoi không phải là hình vuông nên B ⊄ A.

⇒ Vậy A ≠ B.

b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 24 và 30} = {1; 2; 3; 6}. B = {n ∈ N | n là một ước của 6} = {1; 2; 3; 6}.

- Ta thấy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B.

Bài 3 trang 13 SGK Đại số 10: Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau:

a) A = {a; b}

b) B = {0; 1; 2}

* Lời giải bài 3 trang 13 SGK Đại số 10:

a) A = {a; b} có 22 = 4 các tập con đó là: ∅; {a}; {b}; {a; b}

b) B = {0; 1; 2} có 23 = 8 các tập con đó là: ∅; {0}; {1} ; {2} ; {0, 1} ; {0, 2} ; {1, 2} ; {0; 1; 2}.

Bài 3 trang 15 SGK Đại số 10: Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi

a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?

b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

* Lời giải bài 3 trang 15 SGK Đại số 10:

biểu đồ VEN bài 3 trang 15 sgk đại số 10a) Các bạn được HLG = 15.

- Các bạn được HKT = 20.

- Số bạn HLT + HKT = 10.

⇒ Số bạn được HKT mà không được HLG = 15 – 10 = 5.

⇒ Số bạn được HLG mà không được HKT = 20 – 10 = 10.

⇒ Vậy số bạn được khen thưởng = (số bạn được HKT mà không được HLG)

+ (số bạn được HLG mà không được HKT)

+ (số bạn vừa được HLG, vừa được HKT)

= 5 + 10 + 10 = 25 (bạn).

b) Số học sinh chưa được xếp loại HLG và chưa có HKT là: 45 – 25 = 20 (bạn).

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập toán về tập hợp ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý hay thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
diệp
em muốn tả tài liệu ạ
Trả lời -
20/08/2021 - 10:26
...
Admin
Nội dung này em chịu khó xem trên website nhé, chúc em thành công !
23/08/2021 - 15:27
captcha
...
diệp
bài rất hay
Trả lời -
20/08/2021 - 10:25
captcha
...
Trần Thị Thanh Hạ
Tải tài liệu sao vậy ạ?
Trả lời -
17/08/2021 - 09:43
...
Admin
Chào bạn, nội dung bài này bạn chịu khó xem trên website nhé, chúc bạn thành công !
23/08/2021 - 15:01
captcha
...
Phùng Xuân Huy
Em có câu muốn giải đáp : A=( âm vô cùng ; m ) và B = [ 3m-1 ; 3m+3 ] , tìm m để A là tập con của phần bù B trong R ( tập hợp số thực )
Trả lời -
17/08/2021 - 09:22
...
Admin
Trước tiên em xác định phần bù C của B trong R, sau đó mới ta mới tìm m để A là tập con của C nhé. Ta có: C = (âm vô cùng; 3m-1) U (3m+3; dương vô cùng). A là tập con của C thì: m =< 3m - 1 suy ra 2m >=1 suy ra m >=1/2.
23/08/2021 - 14:59
captcha
...
Lâm Thị Hải Lý
Làm sao tải tài liệu ạ
Trả lời -
07/08/2021 - 21:58
...
Admin
Chào em, một số tài liệu BQT sẽ gửi qua email đó em, chúc em thành công !
14/08/2021 - 10:32
captcha
...
trần gia bảo
Câu 4. Cho hai tập khác rỗng A=(m-1;4] và B+(-2;2m+2),với mọi m thuộc R.Số giá trị nguyên m để A giao B rỗng là: A. 8 B .9 C.6 D.7
Trả lời -
06/11/2020 - 07:11
...
Admin
Nếu đề là A=(m-1;4] và B(-2;2m+2) yêu cầu A giao B rỗng tức là: 2m+2
11/11/2020 - 14:43
...
trần gia bảo
nhờ chỉ luôn cách giải với cảm ơn ạ
11/11/2020 - 15:09
captcha
...
lê thu trang
có thể chỉ e bài này đc k ạ.cho tập A có n phần tử(n>3). Số tập con có 3 phần tử là A. n(n-1)(n-2) B.n(n-1)(n-2)/3 C.n(n-1)(n-2)/2 D.n(n-1)(n-2)/6
Trả lời -
01/11/2020 - 14:38
...
Admin
Đáp án là câu D mà ad nhớ là làm bài này cần đến kiến thức đếm (chỉnh hợp, tổ hợp) em có học phần này chưa và em có hỏi đúng nội dung bài học không?
03/11/2020 - 19:35
...
lê thu trang
e chưa học học. nhg trong bài tập về tập hợp, tập con thì cô e cho bài như này.
08/11/2020 - 16:16
captcha
...
Trần Hương
Có thể dạy e cách giải cho dạng bài tìm tất cả các giá trị của tham số a để A ∩ B ≠ ∅. VD : Cho 2 tập hợp : A = [0;5], B = ( 2a; 3a+1] với a > - 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để A ∩ B ≠ ∅.
Trả lời -
28/10/2020 - 19:26
...
Admin
Với dạng này thì em có thể minh họa trên trục số, có thể có 2 trường hợp. TH1 cận trên của B nhỏ hơn cận dưới của A, tức là 3a + 1 < 0 suy ra a < -1/3 kết hợp đk a > -1 suy ra -1 < a < -1/3; TH2 cận trên của A nhỏ hơn cận dưới của B, tức là: 5 =< 2a suy ra a >=5/2=2,5 kết hợp đk a>-1 suy ra a>=2,5. Kết luậ với -12,5 thì A ∩ B ≠ ∅.
31/10/2020 - 15:37
captcha
...
Đỗ thuận
Ad giải hộ em vs: cho A=[-1;5) tính RA (R là tập số thực) Em cảm ơn ad ạ
Trả lời -
19/10/2020 - 21:08
...
Admin
Chào em, ý em hỏi là RA phải không? nếu đúng vậy thì đây được gọi là tập bù của A: RA = (- vô cùng;-1)U [5;+vô cùng).
23/10/2020 - 21:46
captcha
...
Hồ ngọc thanh
Ai giải hộ bài này Lớp 10b4 có 42 bạn học sinh Trong đó có 20 bạn học lực giỏi 13 bạn hạnh kiểm tốt và (15 bạn học lực giỏi hạnh tốt) biết nhận đc giấy khen phải học sinh giỏi hạnh kiểm tốt A,có bao nhiêu bạn nhận giấy khen B, có bao nhiêu bạn không nhận đc giấy khen
Trả lời -
26/09/2020 - 20:35
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 94