Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu Giá trị tuyệt đối - Toán lớp 10

I. Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta thường biến đổi để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng các phương pháp sau:

• Sử dụng định nghĩa: Xét các trường hợp của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

• Bình phương hai vế: Áp dụng khi cả hai vế đều không âm.

• Đặt ẩn phụ: Sử dụng khi phương trình có cấu trúc phức tạp, lặp lại.

1. Phương trình dạng 

Bạn có thể giải bằng cách biến đổi tương đương:

Hoặc bình phương hai vế:

2. Phương trình dạng 

Bạn cần đặt điều kiện cho vế phải, sau đó giải phương trình:

hay  

• Xem thêm:Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay

II. Ví dụ và bài tập vận dụng

Hãy cùng giải một số bài tập để hiểu rõ hơn các phương pháp trên.

Bài tập 1: Giải các phương trình

a) |3x - 2| = 2x + 3

b) |2x - 1| = |-5x - 2|

c) 

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1.

Lời giải:

- Tập xác định: D = R.

¤ Cách giải 1: Khử dấu trị tuyệt đối theo định nghĩa (nên sử dụng khi 1 trong 2 vế của phương trình có bậc 2)

+ Nếu 3x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3 thì:

 (1) ⇔ 3x – 2 = 2x + 3 ⇔ x = 5 (thỏa điều kiện x ≥ 2/3). 

 ⇒ x = 5 là một nghiệm của pt (1).

+ Nếu 3x - 2 < 0 ⇔ x < 2/3 thì:

 (1) ⇔ -(3x - 2) = 2x + 3 ⇔ 5x = -1 ⇔ x=-1/5 (thỏa điều kiện x < 2/3)

 ⇒ x = -1/5 là một nghiệm của pt (1).

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 5 và x₂ = -1/5.

¤ Cách giải 2: Khử dấu trị tuyệt đối bằng cách bình phương 2 vế (nên sử dụng khi 2 vế của pt đều có bậc 1)

- Ta thấy x = 5 và x = -1/5 đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2.

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 5 và x₂ = -1/5.

b) |2x - 1| = |-5x - 2| (2)

- Tập xác định D = R. Ta có:

 (2) ⇔ (2x - 1)² = (-5x - 2)² (bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối)

 ⇔ 4x² - 4x + 1 = 25x² + 20x + 4

 ⇔ 21x² + 24x + 3 = 0

 Có a = 21; b = 24; c = 3 để ý thấy a - b + c = 0 theo Vi-ét pt có nghiệm: x₁ = -1; x₂ = -c/a = -3/21 = -1/7.

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = -1 và x₂ = -1/7.

c)  (3)

- Tập xác định: D = R{-1;2/3}

• TH1: Nếu x +1 > 0 ⇔ x > –1 khi đó: |x + 1| = x + 1. Nên ta có:

 ⇔ (x - 1)(x + 1) = (-3x + 1)(2x - 3)

 ⇔ x² - 1 = -6x² + 11x - 3

 ⇔ 7x² - 11x + 2 = 0

  nên pt có 2 nghiệm: 

- Ta thấy x₁, x₂ thỏa điều kiện x > -1 và x ≠ 3/2.

• TH2: Nếu x +1 < 0 ⇔ x < –1 khi đó: |x + 1| = -x - 1. Nên ta có:

 ⇔ (x - 1)(-x - 1) = (-3x + 1)(2x - 3)

 ⇔ 1 - x² = -6x² + 11x - 3

 ⇔ 5x² - 11x + 4 = 0

 Có  nên pt có 2 nghiệm: 

- Ta thấy x_1, x₂ không thỏa mãn điều kiện x < -1

¤ Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp trên pt(3) có 2 nghiệm là:  và .

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1 (4)

- Tập xác định: D = R.

• TH1: Nếu 2x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ -5/2, khi đó |2x + 5| = 2x + 5. Ta có:

 (4) ⇔ 2x + 5 = x² + 5x + 1

 ⇔ x² + 3x – 4 = 0

 Có a = 1; b = 3; c = -4 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x₁ = 1; x₂ = c/a = -4.

- Ta thấy chỉ có x₁ = 1 thỏa điều kiện x ≥ -5/2 

• TH2: Nếu 2x + 5 < 0 ⇔ x < -5/2 , khi đó |2x + 5| = –2x – 5. Ta có

 (4) ⇔ –2x – 5 = x² + 5x + 1

 ⇔ x² + 7x + 6 = 0

 Để ý có: a - b + c = 0 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x₁ = -1; x₂ = -c/a = -6

- Ta thấy chỉ có x₂ = -6 thỏa điều kiện x < -5/2 

¤ Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp trên pt(4) có 2 nghiệm là: x = 1 và x = -6.

Nhận xét: Như vậy các em để ý, để giải pt có dấu trị tuyệt đối cần linh hoạt vận dụng. Ví dụ, đối pt có dấu trị tuyệt đối mà 2 vế đều bậc 1 ta ưu tiên cách bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối; đối với pt 1 vế bậc nhất, 1 vế bậc 2 ta ưu tiên khử trị tuyệt đối theo định nghĩa.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) x² + |x - 1| = 1

b) |x - 6| = |x² - 5x +9|

Lời giải:

a) x² + |x - 1| = 1

 (Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương).

 ⇔ |x - 1| = 1 - x²

¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x₁ = 1; x₂ = 0.

b) |x - 6| = |x² - 5x +9|

 (Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương).

¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x₁ = 1; x₂ = 3.