Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu Giá trị tuyệt đối - Toán lớp 10

Để giải quyết dạng bài tập này từ cơ bản đến nâng cao, chúng ta cần nắm vững các phương pháp biến đổi để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

I. Các phương pháp giải phổ biến

Để giải quyết dạng toán này, mục tiêu hàng đầu là khử dấu giá trị tuyệt đối. Tùy vào cấu trúc của phương trình, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng định nghĩa: Xét các trường hợp dương/âm của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để phá dấu.

• Bình phương hai vế: Thường áp dụng khi cả hai vế của phương trình đều không âm hoặc đều chứa dấu giá trị tuyệt đối.

• Đặt ẩn phụ: Sử dụng khi phương trình có cấu trúc lặp lại phức tạp.

1. Phương trình dạng $|f(x)| = |g(x)|$

Với dạng bài tập có dấu giá trị tuyệt đối ở cả hai vế, bạn có thể lựa chọn một trong hai cách biến đổi tương đương sau:

• Cách 1: Chia trường hợp trực tiếp

  

• Cách 2: Bình phương hai vế

  $$|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow f^2(x) = g^2(x)$$

2. Phương trình dạng $|f(x)| = g(x)$

Đây là dạng toán cần lưu ý kỹ về điều kiện của vế phải ($g(x)$) trước khi tiến hành phá dấu.

• Biến đổi tương đương có điều kiện:

  $$|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{matrix} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{matrix} \right. \end{cases}$$

• Biến đổi theo định nghĩa:

  $$|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} -f(x) = g(x) \\ f(x) < 0 \end{cases} \end{matrix} \right.$$

II. Ví dụ minh họa và bài tập vận dụng

Dưới đây là lời giải chi tiết giúp bạn hiểu rõ cách vận dụng linh hoạt các phương pháp trên vào bài tập thực tế.

Bài tập 1: Giải các phương trình cơ bản và nâng cao

a) Giải phương trình $|3x - 2| = 2x + 3$

Cách giải 1: Khử dấu theo định nghĩa (Khuyên dùng khi một trong hai vế có bậc cao).

• Nếu $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$: Phương trình trở thành $3x - 2 = 2x + 3 \Leftrightarrow x = 5$ (Thỏa mãn điều kiện).

• Nếu $3x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}$: Phương trình trở thành $-(3x - 2) = 2x + 3 \Leftrightarrow 5x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{5}$ (Thỏa mãn điều kiện).

• Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x = 5$ và $x = -\frac{1}{5}$.

Cách giải 2: Bình phương hai vế (Ưu tiên khi cả hai vế đều bậc 1).

• Điều kiện: $2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{3}{2}$.

• Phương trình: $(3x - 2)^2 = (2x + 3)^2 \Leftrightarrow (3x - 2 + 2x + 3)(3x - 2 - 2x - 3) = 0$

• $\Leftrightarrow (5x + 1)(x - 5) = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{5}$ hoặc $x = 5$. Cả hai đều thỏa mãn điều kiện.

b) Giải phương trình $|2x - 1| = |-5x - 2|$

• Bình phương hai vế để khử dấu: $(2x - 1)^2 = (-5x - 2)^2$.

• $\Leftrightarrow 4x^2 - 4x + 1 = 25x^2 + 20x + 4$.

• $\Leftrightarrow 21x^2 + 24x + 3 = 0$. Áp dụng định lý Vi-ét với $a - b + c = 0$, ta có nghiệm $x = -1$ và $x = -\frac{1}{7}$.

c) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: $\frac{x-1}{2x-3} = \frac{-3x+1}{|x+1|}$

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1; \frac{3}{2}\}$.

• TH1: $x > -1 \Rightarrow |x + 1| = x + 1$. Giải phương trình $7x^2 - 11x + 2 = 0$, thu được $x = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{14}$ (Thỏa mãn).

• TH2: $x < -1 \Rightarrow |x + 1| = -x - 1$. Giải phương trình $5x^2 - 11x + 4 = 0$, các nghiệm tìm được không thỏa mãn điều kiện $x < -1$.

• Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{14}$.

Bài tập 2: Phương trình bậc hai và biến đổi tương đương

a) $x^2 + |x - 1| = 1$

Biến đổi tương đương: $|x - 1| = 1 - x^2$.

Điều kiện: $1 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1$.

• Trường hợp 1: $x - 1 = 1 - x^2 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$ (nhận) hoặc $x = -2$ (loại).

• Trường hợp 2: $x - 1 = -(1 - x^2) \Leftrightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x = 0$ (nhận) hoặc $x = 1$ (nhận).

• Kết luận: Nghiệm $x = 0$ và $x = 1$.

b) $|x - 6| = |x^2 - 5x + 9|$

Dùng phép biến đổi tương đương:

• Trường hợp 1: $x - 6 = x^2 - 5x + 9 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 15 = 0$ (Vô nghiệm vì $\Delta < 0$).

• Trường hợp 2: $x - 6 = -(x^2 - 5x + 9) \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

• Kết luận: Nghiệm $x = 1$ và $x = 3$.

Lời khuyên: Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối nhanh và chính xác, hãy quan sát bậc của các vế. Nếu cả hai vế đều là bậc nhất, bình phương hai vế là con đường ngắn nhất. Nếu có sự xuất hiện của bậc hai, hãy kiên nhẫn xét các trường hợp theo định nghĩa.