Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu Giá trị tuyệt đối - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ hướng dẫn các em cách giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, qua đó vận dụng vào các bài tập để rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán này.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay

° Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (quy về phương trình bậc 2)

• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối như:

- Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối

- Bình phương hai vế phương trình đã cho

- Có thể đặt ẩn phụ. 

+ Với phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau:

 |f(x)| = |g(x)| ⇔

 hoặc |f(x)| = |g(x)|⇔ f²(x) = g²(x)

+ Với phương trình dạng |f(x)| = g(x) ta có thể biến đổi tương đương như sau:

 hoặc  

° Bài tập, ví dụ vận dụng cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Bài tập 1: (Bài 6 trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a) |3x - 2| = 2x + 3

b) |2x - 1| = |-5x - 2|

c) 

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1.

* Lời giải:

- Tập xác định: D = R.

¤ Cách giải 1: Khử dấu trị tuyệt đối theo định nghĩa (nên sử dụng khi 1 trong 2 vế của phương trình có bậc 2)

+ Nếu 3x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3 thì:

 (1) ⇔ 3x – 2 = 2x + 3 ⇔ x = 5 (thỏa điều kiện x ≥ 2/3). 

 ⇒ x = 5 là một nghiệm của pt (1).

+ Nếu 3x - 2 < 0 ⇔ x < 2/3 thì:

 (1) ⇔ -(3x - 2) = 2x + 3 ⇔ 5x = -1 ⇔ x=-1/5 (thỏa điều kiện x < 2/3)

 ⇒ x = -1/5 là một nghiệm của pt (1).

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 5 và x₂ = -1/5.

¤ Cách giải 2: Khử dấu trị tuyệt đối bằng cách bình phương 2 vế (nên sử dụng khi 2 vế của pt đều có bậc 1)

- Ta thấy x = 5 và x = -1/5 đều thỏa điều kiện x ≥ -3/2.

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 5 và x₂ = -1/5.

b) |2x - 1| = |-5x - 2| (2)

- Tập xác định D = R. Ta có:

 (2) ⇔ (2x - 1)² = (-5x - 2)² (bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối)

 ⇔ 4x² - 4x + 1 = 25x² + 20x + 4

 ⇔ 21x² + 24x + 3 = 0

 Có a = 21; b = 24; c = 3 để ý thấy a - b + c = 0 theo Vi-ét pt có nghiệm: x₁ = -1; x₂ = -c/a = -3/21 = -1/7.

¤ Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = -1 và x₂ = -1/7.

c)  (3)

- Tập xác định: D = R{-1;2/3}

• TH1: Nếu x +1 > 0 ⇔ x > –1 khi đó: |x + 1| = x + 1. Nên ta có:

 ⇔ (x - 1)(x + 1) = (-3x + 1)(2x - 3)

 ⇔ x² - 1 = -6x² + 11x - 3

 ⇔ 7x² - 11x + 2 = 0

  nên pt có 2 nghiệm: 

- Ta thấy x₁, x₂ thỏa điều kiện x > -1 và x ≠ 3/2.

• TH2: Nếu x +1 < 0 ⇔ x < –1 khi đó: |x + 1| = -x - 1. Nên ta có:

 ⇔ (x - 1)(-x - 1) = (-3x + 1)(2x - 3)

 ⇔ 1 - x² = -6x² + 11x - 3

 ⇔ 5x² - 11x + 4 = 0

 Có  nên pt có 2 nghiệm: 

- Ta thấy x_1, x₂ không thỏa mãn điều kiện x < -1

¤ Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp trên pt(3) có 2 nghiệm là:  và .

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1 (4)

- Tập xác định: D = R.

• TH1: Nếu 2x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ -5/2, khi đó |2x + 5| = 2x + 5. Ta có:

 (4) ⇔ 2x + 5 = x² + 5x + 1

 ⇔ x² + 3x – 4 = 0

 Có a = 1; b = 3; c = -4 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x₁ = 1; x₂ = c/a = -4.

- Ta thấy chỉ có x₁ = 1 thỏa điều kiện x ≥ -5/2 

• TH2: Nếu 2x + 5 < 0 ⇔ x < -5/2 , khi đó |2x + 5| = –2x – 5. Ta có

 (4) ⇔ –2x – 5 = x² + 5x + 1

 ⇔ x² + 7x + 6 = 0

 Để ý có: a - b + c = 0 nên theo Vi-ét pt có nghiệm: x₁ = -1; x₂ = -c/a = -6

- Ta thấy chỉ có x₂ = -6 thỏa điều kiện x < -5/2 

¤ Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp trên pt(4) có 2 nghiệm là: x = 1 và x = -6.

* Nhận xét: Như vậy các em để ý, để giải pt có dấu trị tuyệt đối cần linh hoạt vận dụng. Ví dụ, đối pt có dấu trị tuyệt đối mà 2 vế đều bậc 1 ta ưu tiên cách bình phương 2 vế để khử trị tuyệt đối; đối với pt 1 vế bậc nhất, 1 vế bậc 2 ta ưu tiên khử trị tuyệt đối theo định nghĩa.

* Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) x² + |x - 1| = 1

b) |x - 6| = |x² - 5x +9|

° Lời giải:

a) x² + |x - 1| = 1

 (Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương).

 ⇔ |x - 1| = 1 - x²

¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x₁ = 1; x₂ = 0.

b) |x - 6| = |x² - 5x +9|

 (Ta sẽ khử trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương).

¤ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm x₁ = 1; x₂ = 3.