Các dạng bài tập toán về Phương trình bậc 2 một ẩn và Phương pháp giải - Toán lớp 10

Trong bài viết này chúng ta sẽ hệ thống lại một số dạng bài tập và cách giải đối với phương trình bậc 2 một ẩn như: Giải và biện luận phương trình bậc 2 (Giải phương trình bậc 2 chứa tham số m); Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước; Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai; Phương trình quy về phương trình bậc hai; Giải hệ phương trinh bậc 2 hai ẩn.

» Đừng bỏ lỡ: Bài tập xét dấu của tam thức bậc 2 bất phương trình bậc 2 cực hay

I. Lý thuyết về Phương trình bậc 2 (tóm tắt)

1. Giải và biện luận phương trình bậc 2

• Phương trình bậc 2 một ẩn: ax² + bx + c = 0 (a≠0)  (*)

 Δ = b² - 4ac

♦ Nếu Δ < 0 ⇔ Tập nghiệm: S = Ø

♦ Nếu Δ = 0 ⇔ Tập nghiệm: 

♦ Nếu Δ > 0 ⇔ Tập nghiệm: 

2. Định lý Vi-ét

• Nếu (*) có 2 nghiệm x₁ và x₂ thì:

  và 

• Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

- Nếu a + b + c = 0 

- Nếu a - b + c = 0 

• Nếu hai số x và y có S = x + y và P = x.y thì x, y là nghiệm của phương trình bậc 2: t² - St + P = 0.

II. Các dạng Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc 2 (PT bậc 2 chứa tham số)

* Phương pháp: Phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0.

♦ Cách giải: Xét các trường hợp đặc biệt:

 ◊ a + b + c = 0

 ◊ a - b + c = 0

 ◊ b = 2b' (hệ số b chẵn)

 ◊ Phương trình dạng x² - Sx + P = 0 (nhẩm nghiệm)

♦ Biện luận:

 ◊ Xét trường hợp a = 0.

 ◊ Khi a ≠ 0, xét dấu tích ac và tính Δ = b² - 4ac.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

c) 

° Lời giải ví dụ 1:

a) Vì a + b + c =  nên nhẩm nghiệm ta thấy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 

b) Ta có: ; 

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm 

c) Xét trường hợp m = 1: Phương trình đã cho có nghiệm x = -1;

 Trường hợp m ≠ 1: Ta có a - b + c = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm:

* Ví dụ 2: Giải biện luận các phương trình sau:

a) (m+1)x² + (3m+1)x + 2(m-1) = 0.

b) 

° Lời giải ví dụ 2:

a) (m+1)x² + (3m+1)x + 2(m-1) = 0. (*)

• Trường hợp m = -1: Phương trình (*) trở thành:

 -2x - 4 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của phương trình.

• Trường hợp m ≠ -1: Δ  = m² + 6m + 9 = (m+3)²

 ◊ m = - 3 thì Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:

 ◊ m ≠ - 3 thì Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

 b)  (*)

- Điều kiện x≠2 và x≠0.

- Quy đồng khử mẫu ta được:

 (*) ⇔ mx² - 3x + 2m = 0

• Trường hợp m = 0: Phương trình trở thành: -3x = 0 ⇔ x = 0 (loại).

• Trường hợp m ≠ 0: Δ = 9 - 8m²

 ◊ Δ < 0 ⇔  phương trình vô nghiệm

 ◊ Δ = 0 ⇔  Phương trình có nghiệm kép 

  Với  (nhận)

  Với  (nhận)

 ◊ Δ > 0 ⇔  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

 Hai nghiệm này nhận được (thỏa điều kiện) khi và chỉ khi:

- Như vậy ta có kết luận:

  hoặc  hoặc m = 0: PT vô nghiệm

 : PT có nghiệm kép 

 : PT có nghiệp kép 

 m = 1: PT có nghiệp đơn x = 2

  và m≠0; m≠1: PT có hai nghiệm phân biệt.

» Đừng bỏ lỡ: Một số Bài tập giải phương trình bậc 2 chứa tham số m hay

° Dạng 2: Xác định tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

* Ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x² - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): 

- Ta có : 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

- Để PT (*) có hai nghiệm phân biệt thì Δ’ = b'² - ac > 0

 ⇔ (m + 1)² – 3.(3m – 5) > 0

 ⇔ m² + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

 ⇔ m² – 7m + 16 > 0

 ⇔ (m – 7/2)² + 15/4 > 0

- Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m ∈ R nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

- Gọi hai nghiệm của (*) là x₁; x₂ khi đó theo Vi-ét ta có:

 và  (1)

- Theo bài ra, Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, nên không mất tính tổng quát khi giả sử x₂ = 3.x₁, khi thay vào (1) suy ra:

⇔ m² + 2m + 1 = 4(3m-5)

⇔ m² - 10m + 21 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = 7

◊ TH1: m = 3, PT (*) trở thành 3x² – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x₁ = 2/3 và x₂ = 2 thỏa mãn điều kiện.

◊ TH2: m = 7, PT (*) trở thành 3x² – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x₁ = 4/3 và x₂ = 4 thỏa mãn điều kiện.

- Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

* Ví dụ 2: Cho phương trình: (m+1)x² - 4m(m+1)x - m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.

° Lời giải ví dụ 2: 

- Để phương trình có nghiệm kép thì:

 a = m+1 ≠ 0 và Δ' = 4m²(m+1)² + m(m+1)=0

⇔ m≠-1 và m(m+1)(2m+1)² = 0

Giải PT: m(m+1)(2m+1)² = 0 ta được m = 0; m = -1; m = -1/2;

Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm m = -1; nhận 2 nghiệm m = 0 và m =-1/2;

- Với m = 0, ta có nghiệm kép là: 

- Với m = -1, ta có nghiệm kép là: x = -1.

* Ví dụ 3: Cho phương trình: x² - 2x + m = 0 (*)

Xác định m để PT trên có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Lời giải ví dụ 2: 

- Để PT có hai nghiệm phân biệt thì:

 Δ' = 1-m>0 ⇔ m < 1

- Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của PT không mất tính tổng quát khi giả sử 

- Mà theo Vi-ét ta có:   (**)

- Giải PT (**) này ta được 2 nghiệm x₂ = 1 và x₂ = -2

- Thay x₂ = 1 vào PT (*) ta được m = 1 (loại, do không thỏa điều kiện m<1)

- Thay x₂ = -2 vào PT (*) ta được m = -8 (nhận)

- Kết luận: m = -8 thì PT x² - 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

° Dạng 3: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

* Phương pháp: Phương trình bậc 2 một ẩn: ax² + bx + c = 0 (a≠0)

- Có 2 nghiệm x₁ và x₂ nếu:

• x₁ < 0 < x₂ ⇔ P < 0.

• x₁ ≤ x₂ < 0 ⇔ 

• x₁ ≥ x₂ > 0 ⇔

* Ví dụ: Cho phương trình: (m²+1)x² + 2(m²-1)x - (m²-1) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.

° Lời giải

- Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:

- Như vậy không có giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương.

° Dạng 4: Các phương trình quy về phương trình bậc hai

* Phương pháp: Các phương trình dạng sau có thể đưa về được pt bậc 2

1) ax⁴ + bx² + c = 0; Đặt t = x² ≥ 0.

2) a(P(x))² + b(P(x)) + c = 0; Đặt t = P(x).

3) P(x)[P(x) + b] + c = 0; Đặt t = P(x).

4) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e; Đặt t = (x+a)(x+d), điều kiện a + d = b + c.

5) ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0; Chia 2 vế cho x² rồi đặt 

6) (x+a)⁴ + (x+b)⁴ + c = 0; đặt 

7) Phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối

8) Phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) (x - 1)(x + 5)(x² + 4x + 8) + 40 = 0  (*)

b) x⁴ - 3x² + 4x² - 3x + 1 = 0  (**)

° Lời giải:

a) (x - 1)(x + 5)(x² + 4x + 8) + 40 = 0  (*)

- Đặt t = (x - 1)(x + 5) = x² + 4x - 5

 ⇒ x² + 4x + 8 = x² + 4x - 5 + 13 = t + 13

- Vậy (*) ⇔ t(t + 13) + 40 = 0

 ⇔ t² + 13t + 40 = 0 

 ⇔ t = -5 hoặc t = -8;

• Với t = -5  ⇒ x² + 4x - 5 = -5

 ⇔ x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -4.

• Với t = -8  ⇒ x² + 4x - 5 = -8

⇔ x² + 4x +3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -3.

- Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-4; -3; -1; 0}.

b) x⁴ - 3x² + 4x² - 3x + 1 = 0  (**)

- Vì x = 0 không phải là nghiệm nên chia 2 vế cho x²≠0 ta được:

 (**) 

 Đặt , |t|≥2 ta được: t² - 3t + 2 = 0

- Giải PT theo t (nhẩm nghiệm a + b + c = 0) ta được: t = 1 (loại, do không thỏa điều kiện |t|≥2) và t = 2(nhận).

- Với t = 2 ⇒ 

° Dạng 5: Giải hệ phương trình bậc 2 chứa hai ẩn

* Phương pháp: 

• Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai: Rút một ẩn ở pt bậc nhất, thay vào pt bậc 2 ta được pt bậc 2 chứa 1 ẩn

• Hệ đối xứng (là hệ khi đổi vai trò giữa x và y ta thấy các pt không đổi): Đặt hai ẩn phụ S = x + y và P = x.y. Tính S, P suy ra x và y.

* Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

  (*)

° Lời giải ví dụ 1:

- Ta có: 

 (*)  

- Với y = 1 ta được x = 4;

- Với y=-7/4 ta được x = -17/4

- Kết luận: Vậy hệ có 2 cặp nghiệm là: (4;1) và (-17/4; -7/4).

* Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

 (*)

° Lời giải ví dụ 2:

- Ta đặt: S = x + y và P = x.y khi đó:

 (*)  

• Từ P + S = 5 ⇒ P = 5 - S; thay P vào P.S = 6 ta được:

 (5 - S)S = 6 ⇔ 5S - S² = 6 ⇔ S² - 5S + 6 = 0

 ⇔ S = 2 hoặc S = 3

- Với S = 2 ⇒ P = 3, x và y là nghiệm của phương trình:

 t² - 2t + 3 = 0; Ta có  (PT vô nghiệm)

- Với S = 3 ⇒ P = 2, x và y là nghiệm của phương trình:

 t² - 3t + 2 = 0; có nghiệm t = 1 hoặc t = 2.

⇒ Vậy hệ (*) có 2 cặp nghiệm là: (1;2) và (2;1)

° Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm trong khoảng cho trước

* Phương pháp: Dùng mô hình tam thức bậc 2.

- Xét phương trình f(x,m) có 2 nghiệm x₁, x₂ (trường hợp có 1 nghiệm tương tự), a là hệ số đi với mũ cao nhất của hàm f. Khi đó để nghiệm của phương trình thuộc khoảng [α; β] ta có các trường hợp sau:

• Cả 2 nghiệm của f(x,m) đều thuộc [α; β] tức là:

• Chỉ có 1 nghiệm của f(x,m) thuộc [α; β] tức là:

• Cả 2 nghiệm của f(x,m) không thuộc (α; β) tức là:

  hoặc 

* Ví dụ: Cho phương trình: x² - 4x + 3 + 4m = 0, (*)

- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thuộc [-1,1]

° Lời giải:

- Ta có: 

+ Với  khi đó (*) có một nghiệm x = 2 ∉ [-1,1]

+ Với  khi đó (*) có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

- Để (*) có nghiệm thuộc [-1,1] thì một trong các trường hợp sau xảy ra:

• TH1: cả 2 nghiệm thuộc [-1,1]

   (vô nghiệm)

• TH2: có 1 nghiệm thuộc [-1,1]

- Kết luận: Vậy với -2 ≤ m ≤ 0 tì pt (*) có nghiệm thuộc khoảng [-1,1].

Ngoài cách dùng tam thức bậc 2 bài toán tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm trong khoảng cho trước có thể giải bằng phương pháp sử dụng bảng biến thiên.

Khi đó chuyển hàm f(x,m) về dạng hàm g(x) = h(m). Đặt y = g(x) (có đồ thị (C) là đường thẳng hoặc đường cong); và y = h(m) (có đồ thị (Δ) là đường thẳng nằm ngang). Như vậy, bài toán trên được đưa về dạng toán " Tìm m để (Δ) cắt (C) tại n điểm phân biệt". Lập bảng biến thiên của hàm y = g(x) và từ BBT sẽ đưa ra kết luận giá trị m cần tìm.

* Ví dụ: Cho phương trình: x² - 4x + 3 + 4m = 0, (*)

- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thuộc [-1,1]

° Lời giải:

- Ta có: (*) ⇔ x² - 4x + 3 = -4m

- Đặt y = x² - 4x + 3 (C) và y = -4m (Δ).

- Lập bảng biến thiên của hàm y = x² - 4x + 3

- Từ bảng biến thiên ta thấy để pt (*) có nghiệm trong khoảng [-1;1] thì:

 0 ≤ -4m ≤ 8 ⇔ -2 ≤ m ≤ 0.

- Vậy  -2 ≤ m ≤ 0 thì pt (*) có nghiệm nằm trong khoảng [-1;1].

→ Đối với chương trình lớp 10 chúng ta thường sử dụng các giải vận dụng tam thức bậc 2, cách giải bằng bảng biến thiên (hoặc đồ thị) thường ở lớp 12 các em mới sử dụng.