Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải - Toán lớp 10

Trong bài viết này, chúng ta cùng rèn luyện kỹ năng giải các bài tập về xét dấu của tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 với các dạng toán khác nhau. Qua đó dễ dàng ghi nhớ và vận dụng giải các bài toán tương tự mà các em gặp sau này.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay

I. Lý thuyết về dấu tam thức bậc 2

1. Tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.

a) f(x) = x² - 3x + 2

b) f(x) = x² - 4

c) f(x) = x²(x-2)

° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

2. Dấu của Tam thức bậc hai

* Định lý: Cho f(x) = ax² + bx + c, Δ = b² - 4ac.

- Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

- Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

- Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂ ; trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂ trong đó x₁,x₂ (với x₁<x₂) là hai nghiệm của f(x).

> Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng

* Cách xét dấu của tam thức bậc 2

- Tìm nghiệm của tam thức

- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

- Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

II. Lý thuyết về Bất phương trình bậc 2 một ẩn

1. Bất phương trình bậc 2

- Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax² + bx + c < 0 (hoặc ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

* Ví dụ: x² - 2 >0; 2x² +3x - 5 <0;

2. Giải bất phương trình bậc 2

- Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax² + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

III. Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x² - 3x + 1

b) -2x² + 3x + 5

c) x² + 12x + 36

d) (2x - 3)(x + 5)

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 5x² – 3x + 1

- Xét tam thức f(x) = 5x² – 3x + 1

- Ta có: Δ = b² - 4ac = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

- Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2x² + 3x + 5

- Xét tam thức f(x) = –2x² + 3x + 5

- Ta có: Δ = b² - 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.

- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1; x₂ = 5/2, hệ số a = –2 < 0

- Ta có bảng xét dấu:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) x² + 12x + 36

- Xét tam thức f(x) = x² + 12x + 36

- Ta có: Δ = b² - 4ac = 144 - 144 = 0.

- Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.

- Ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 với ∀x ≠ –6

 f(x) = 0 khi x = –6

d) (2x - 3)(x + 5)

- Xét tam thức f(x) = 2x² + 7x – 15

- Ta có: Δ = b² - 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.

- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3/2; x₂ = –5, hệ số a = 2 > 0.

- Ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

 f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức

a) f(x) = (3x² - 10x + 3)(4x - 5)

b) f(x) = (3x² - 4x)(2x² - x - 1)

c) f(x) = (4x² – 1)(–8x² + x – 3)(2x + 9)

d) f(x) = [(3x² - x)(3 - x²)]/[4x² + x - 3]

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) f(x) = (3x² - 10x + 3)(4x - 5)

- Tam thức 3x² – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

- Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

- Ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x² - 4x)(2x² - x - 1)

- Tam thức 3x² – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x² – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x² – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2x² – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

- Ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x² – 1)(–8x² + x – 3)(2x + 9)

- Tam thức 4x² – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4x² – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

- Tam thức –8x² + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm.

- Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

- Ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

d) f(x) = [(3x² - x)(3 - x²)]/[4x² + x - 3]

- Tam thức 3x² – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x² – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

- Tam thức 3 – x² có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

⇒ 3 – x² mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

- Tam thức 4x² + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4x² + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

- Ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

 f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

° Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4x² - x + 1 < 0

b) -3x² + x + 4 ≥ 0

c) 

d) x² - x - 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 4x² - x + 1 < 0

- Xét tam thức f(x) = 4x² - x + 1

- Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) -3x² + x + 4 ≥ 0

- Xét tam thức f(x) = -3x² + x + 4

- Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

⇒  f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]

c)  (*)

- Điều kiện xác định: x² - 4 ≠ 0 và 3x² + x - 4 ≠ 0

 ⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.

- Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:

 (*) ⇔ 

- Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

- Tam thức x² – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

⇒ x² – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

- Tam thức 3x² + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x² + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu - khi -4/3 < x < 1.

- Ta có bảng xét dấu như sau:

- Từ bảng xét dấu ta có:

 (*) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x² - x - 6 ≤ 0

- Xét tam thức f(x) = x² - x - 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0

b) (3 - m)x² - 2(m + 3)x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) (m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 (*)

• Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

 Δ' = b'² - ac = (2m - 3)² - (m - 2)(5m - 6)

 = 4m² - 12m + 9 - 5m² + 6m + 10m - 12

 = -m² + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)

- Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

- Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 - m)x² - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*)

• Nếu 3 - m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

 Δ' = b' - ac = (m + 3)² - (3 - m)(m + 2)

 = m² + 6m + 9 - 3m - 6 + m² + 2m

 = 2m² + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

- Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

- Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.