Hotline 0939 629 809

Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải - Toán lớp 10

08:54:4307/01/2020

Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2 và bất phương trình bậc 2 có khá nhiều công thức và biểu thức mà các em cần ghi nhớ vì vậy thường gây nhầm lẫn khi các em vận dụng giải bài tập.

Trong bài viết này, chúng ta cùng rèn luyện kỹ năng giải các bài tập về xét dấu của tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 với các dạng toán khác nhau. Qua đó dễ dàng ghi nhớ và vận dụng giải các bài toán tương tự mà các em gặp sau này.

I. Lý thuyết về dấu tam thức bậc 2

1. Tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.

a) f(x) = x2 - 3x + 2

b) f(x) = x2 - 4

c) f(x) = x2(x-2)

° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

2. Dấu của Tam thức bậc hai

* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 - 4ac.

- Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

- Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

- Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 (với x1<x2) là hai nghiệm của f(x).

 [Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng]

* Cách xét dấu của tam thức bậc 2

- Tìm nghiệm của tam thức

- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

- Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

II. Lý thuyết về Bất phương trình bậc 2 một ẩn

1. Bất phương trình bậc 2

- Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

* Ví dụ: x2 - 2 >0; 2x2 +3x - 5 <0;

2. Giải bất phương trình bậc 2

- Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

III. Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x2 - 3x + 1

b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36

d) (2x - 3)(x + 5)

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 5x2 – 3x + 1

- Xét tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

- Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2x2 + 3x + 5

- Xét tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.

- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0

- Ta có bảng xét dấu:

Bảng xét dấu câu b bài 1 trang 105 sgk đại số 10

 f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) x2 + 12x + 36

- Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 144 - 144 = 0.

- Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu c bài 1 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 với ∀x ≠ –6

 f(x) = 0 khi x = –6

d) (2x - 3)(x + 5)

- Xét tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.

- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu d bài 1 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

 f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức

a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)

b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

d) f(x) = [(3x2 - x)(3 - x2)]/[4x2 + x - 3]

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)

- Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

- Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

- Ta có bảng xét dấu:

 ví du 2 bài 2 a trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1)

- Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2b bài 2 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

- Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

- Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm.

- Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2c bài 2 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

d) f(x) = [(3x2 - x)(3 - x2)]/[4x2 + x - 3]

- Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

- Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

- Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2d bài 2 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

 f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

° Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 - x + 1 < 0

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

c) 

d) x2 - x - 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 4x2 - x + 1 < 0

- Xét tam thức f(x) = 4x2 - x + 1

- Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

- Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4

- Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

⇒  f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]

c)  (*)

- Điều kiện xác định: x2 - 4 ≠ 0 và 3x2 + x - 4 ≠ 0

 ⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.

- Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:

 (*) ⇔ 

- Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

- Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

- Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu - khi -4/3 < x < 1.

- Ta có bảng xét dấu như sau:

bảng xét dấu câu 3c bài 3 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 (*) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 - x - 6 ≤ 0

- Xét tam thức f(x) = x2 - x - 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0

b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 (*)

• Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

 Δ' = b'2 - ac = (2m - 3)2 - (m - 2)(5m - 6)

 = 4m2 - 12m + 9 - 5m2 + 6m + 10m - 12

 = -m2 + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)

- Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

- Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*)

• Nếu 3 - m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

 Δ' = b' - ac = (m + 3)2 - (3 - m)(m + 2)

 = m2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m2 + 2m

 = 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

- Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

- Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
Nguyễn Văn Trung
Ad ơi xét hộ em dấu của tam thức này với ạ x²-4x+4
Trả lời -
06/07/2020 - 14:11
...
Admin
Tam thức tương đương (x-2)^ >=0 với mọi x nha em
06/07/2020 - 15:53
captcha
...
Nguyễn Thị Xuân Phúc
giải giúp em câu này với ạ tìm m để phương trình (1+m)*x-2*m*x+2*m=0 có nghiệm
Trả lời -
29/06/2020 - 07:39
...
Admin
Em viết đúng đề không, đây là pt bậc nhất ẩn x tham số m thì đơn giản mà: (1+m)x-2mx+2m=0 <=> (1-m)x + 2m = 0. TH1: Nếu 1-m=0 =>m =1 thì 2=0(vô lý) => pt vô nghiệm, nếu 1-m khác 0 tức m khác 1; ta có: x = -2m/(1-m) = 2m/(m-1). Kết luận pt có nghiệm ,<=> m khác 1
30/06/2020 - 08:38
captcha
...
Nguyễn thanh tùng
Giúp em vs ạ g(x)=2x^2-x-1 ạ nay em thi anh chị nào giúp với ạ
Trả lời -
23/06/2020 - 07:51
...
Admin
Sao không có nội dung hỏi em, mỗi cái hàm bậc 2 không vậy em ơi!??
24/06/2020 - 09:44
captcha
...
Phạm văn hiếu
Nay thi mà h mới hỏi chắc ko kịp :((
Trả lời -
23/06/2020 - 05:25
...
Admin
Có thể em gửi câu hỏi vào trang fanpage hayhochoi có thể được giải đáp nhanh hơn nha! chúc em làm bài tốt!
24/06/2020 - 09:43
captcha
...
Trần Thị Mỹ Trang
Có thể giải thích giúp em về dấu || đc k ạ. Tại s mk lại dùng dấu || mà k phải số 0 ạ
Trả lời -
21/06/2020 - 12:41
...
Admin
Dấu | trong bảng xét dấu phải không em, đối với những biểu thức tại giá trị đó khác 0, mục đích chính để em nhìn bảng là biết ngay tam thức cuối có dấu âm hay dương nhé!
22/06/2020 - 11:23
...
Nguyễn Công Đạo
Dấu || là giá trị ko xác định được do nó ở phần mẫu thức
24/06/2020 - 09:23
captcha
...
Lê Quốc Quân
f(x) (x-3 )( 2x+10)>0
Trả lời -
14/06/2020 - 22:44
...
Admin
Em có thể lập bảng xét dấu bpt này nhé, Ý em hỏi là f(x)= (x-3 )( 2x+10)>0 khi và chỉ khi (x-3)<0 và (2x+10) <0 hoặc (x-3)>0 và (2x+10)>0; x<-5 hoặc x>3. Hay để ý pt có nghiệm 2 nghiệm x = -5 và x = 3 để ý hệ số a trước x^2 là dương (2x^2), nên trong (khoảng 2 nghiệm) khác dấu a ngoài cùng dấu a. Như vậy tam thức có tập nghiệm, x<-5 hoặc x>3.
15/06/2020 - 14:33
captcha
...
Sùng seo tống
Tốt
Trả lời -
12/06/2020 - 07:22
captcha
...
Phú dự
Hay quá cho e tài.liệu
Trả lời -
07/06/2020 - 17:02
...
Admin
Nội dung bài xét dấu em chịu khó xem trên website nha, chúc em học tốt !
09/06/2020 - 10:02
captcha
...
Loan nguyeen
Hayqua
Trả lời -
23/05/2020 - 14:49
captcha
...
Đỗ Thị Diệu Linh
Cho em xin tài liệu ôn tập với ạ
Trả lời -
25/04/2020 - 11:34
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 14