Hotline 0939 629 809

Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải - Toán lớp 10

08:54:4307/01/2020

Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2 và bất phương trình bậc 2 có khá nhiều công thức và biểu thức mà các em cần ghi nhớ vì vậy thường gây nhầm lẫn khi các em vận dụng giải bài tập.

Trong bài viết này, chúng ta cùng rèn luyện kỹ năng giải các bài tập về xét dấu của tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 với các dạng toán khác nhau. Qua đó dễ dàng ghi nhớ và vận dụng giải các bài toán tương tự mà các em gặp sau này.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay

I. Lý thuyết về dấu tam thức bậc 2

1. Tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.

* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.

a) f(x) = x2 - 3x + 2

b) f(x) = x2 - 4

c) f(x) = x2(x-2)

° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.

2. Dấu của Tam thức bậc hai

* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 - 4ac.

- Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

- Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

- Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 (với x1<x2) là hai nghiệm của f(x).

Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng

* Cách xét dấu của tam thức bậc 2

- Tìm nghiệm của tam thức

- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

- Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

II. Lý thuyết về Bất phương trình bậc 2 một ẩn

1. Bất phương trình bậc 2

- Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

* Ví dụ: x2 - 2 >0; 2x2 +3x - 5 <0;

2. Giải bất phương trình bậc 2

- Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

III. Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn

° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x2 - 3x + 1

b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36

d) (2x - 3)(x + 5)

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 5x2 – 3x + 1

- Xét tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

- Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2x2 + 3x + 5

- Xét tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.

- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0

- Ta có bảng xét dấu:

Bảng xét dấu câu b bài 1 trang 105 sgk đại số 10

 f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) x2 + 12x + 36

- Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 144 - 144 = 0.

- Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu c bài 1 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 với ∀x ≠ –6

 f(x) = 0 khi x = –6

d) (2x - 3)(x + 5)

- Xét tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15

- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.

- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu d bài 1 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

 f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức

a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)

b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

d) f(x) = [(3x2 - x)(3 - x2)]/[4x2 + x - 3]

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)

- Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

- Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

- Ta có bảng xét dấu:

 ví du 2 bài 2 a trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1)

- Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2b bài 2 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

- Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

- Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm.

- Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2c bài 2 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

d) f(x) = [(3x2 - x)(3 - x2)]/[4x2 + x - 3]

- Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

- Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

- Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

- Ta có bảng xét dấu:

bảng xét dấu câu 2d bài 2 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

 f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

° Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 - x + 1 < 0

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

c) 

d) x2 - x - 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 4x2 - x + 1 < 0

- Xét tam thức f(x) = 4x2 - x + 1

- Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

- Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4

- Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

⇒  f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]

c)  (*)

- Điều kiện xác định: x2 - 4 ≠ 0 và 3x2 + x - 4 ≠ 0

 ⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.

- Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:

 (*) ⇔ 

- Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

- Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

- Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu - khi -4/3 < x < 1.

- Ta có bảng xét dấu như sau:

bảng xét dấu câu 3c bài 3 trang 105 sgk đại số 10

- Từ bảng xét dấu ta có:

 (*) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 - x - 6 ≤ 0

- Xét tam thức f(x) = x2 - x - 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0

b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 (*)

• Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

 Δ' = b'2 - ac = (2m - 3)2 - (m - 2)(5m - 6)

 = 4m2 - 12m + 9 - 5m2 + 6m + 10m - 12

 = -m2 + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)

- Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

- Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*)

• Nếu 3 - m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

 Δ' = b' - ac = (m + 3)2 - (3 - m)(m + 2)

 = m2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m2 + 2m

 = 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

- Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

- Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Hy vọng với bài viết Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Đánh giá & nhận xét

captcha
...
Huỳnh Thị Hồng Diễm
E vẫn chưa hiểu lắm khúc có dấu gạch và dấu cộng trừ ấy ạ
Trả lời -
07/06/2022 - 10:06
...
Admin
Cụ thể chỗ nào em ơi
09/06/2022 - 10:37
captcha
...
hoangdong
khi nào thì dùng cái || trong bảng xét dấu vậy ạ
Trả lời -
08/05/2022 - 20:40
...
Admin
Chào em, dấu | này là phân cách các khoảng nghiệm, để em xét dấu biểu thức cuối cùng của bảng dễ hơn, em để ý trong bảng xét dấu sẽ thấy. Còn dấu || (2 dấu gạch đứng, hay dùng trong hàm số chỗ giá trị làm biểu thức không xác định đó em).
12/05/2022 - 11:20
captcha
...
giangvanphuc
Em hỏi là khi nào 1 nghiệm là bội chẵn hay lẻ , lúc thì nó chẵn lúc thì lẻ em rối quá
Trả lời -
30/03/2022 - 22:03
...
Admin
Chào em, vấn đề xét dấu tam thức này em quan tâm tới tìm được nghiệm nhé, khi tìm được nghiệm em lập bảng xét dấu thôi.
05/04/2022 - 16:24
captcha
...
duc
đặt fx=0 đưa về từng nhiệm xét trên trục xét dấu rồi dùng quy tắc trong trái ngoài cùng qua nhiệm đổi dấu rồi kết luận
Trả lời -
06/07/2021 - 16:30
captcha
...
HaiAnh
Ad ơi giải hộ em bài này với ạ tìm x biết /x-2/+/3-2x/=2x+1
Trả lời -
17/04/2021 - 21:10
...
Admin
Em chia các trường hợp x<3/2; 3/2 =< x < 2 và x >=2 để phá trị tuyệt đối rồi giải các trường hợp là phương trình bậc nhất nhé.
28/04/2021 - 09:17
captcha
...
gghth
hay
Trả lời -
17/04/2021 - 21:08
captcha
...
Lê phương thanh
Ad giải hộ em với bài này ạ f(x)=2x-3 với ạ
Trả lời -
05/04/2021 - 21:50
...
Admin
Bài này dạng đơn giản mà em, em xem qua các ví dụ nhé, 2x - 3 có nghiệm x = 3/2 vẽ trục số xét đấu được: f(x)<0 khi x<3/2 và f(x) = 0 khi x = 3/2 và f(x) > 0 khi x>3/2.
12/04/2021 - 09:53
captcha
...
Trâm Ánh
bạn ơi cho mik hỏi phần này vs: cái bài trên hỏi xác định tham số m để t/m đkpt ấy ạ. vd1 câu a tại sao m=2 ko phải giá trị cần tìm ?
Trả lời -
19/03/2021 - 21:53
...
Admin
Vì khi m=2 thì phương trình có nghiệm, trong khi bài toán yêu cầu mình tìm m để pt này vô nghiệm đó em.
20/03/2021 - 14:14
captcha
...
Hoàng Nga
DỄ HIỂU
Trả lời -
28/02/2021 - 22:27
captcha
...
nui
cho mk hỏi còn bpt bậc 3,4 giải ntn ạ??
Trả lời -
21/02/2021 - 09:09
...
Admin
Nếu BPT bậc 3, 4 em cần tìm cách phân tích đưa về dạng tích của bậc 1 bậc 2 và xét dấu (cố gắng đưa về dạng em đã biết nhé), chúc em nhiều thành công !
23/02/2021 - 08:40
captcha
Xem thêm bình luận
10 trong số 27
Tin liên quan