Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải - Toán lớp 10

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng hệ thống lại lý thuyết trọng tâm và rèn luyện kỹ năng giải bài tập qua các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao. Việc nắm vững quy tắc "Trong trái - Ngoài cùng" và cách lập bảng xét dấu sẽ giúp các em tự tin chinh phục nội dung này.

I. Lý thuyết trọng tâm về dấu của tam thức bậc hai

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với $x$ là biểu thức có dạng:

• Ví dụ: Trong các biểu thức sau, đâu là tam thức bậc hai?

  • a) $f(x) = x^2 - 3x + 2$ (Đúng)

  • b) $f(x) = x^2 - 4$ (Đúng)

  • c) $f(x) = x^2(x-2)$ (Sai, đây là đa thức bậc 3)

2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ có biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Nếu $\Delta < 0$: $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

• Nếu $\Delta = 0$: $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \neq -\frac{b}{2a}$.

• Nếu $\Delta > 0$: $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ (giả sử $x_1 < x_2$).

  • $f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ khi $x \in (x_1; x_2)$.

  • $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$.

Mẹo ghi nhớ: "Trong trái - Ngoài cùng" (Trong khoảng hai nghiệm trái dấu với $a$, ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với $a$).

II. Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Định nghĩa

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là biểu thức có dạng $ax^2 + bx + c < 0$ (hoặc $\le 0, > 0, \ge 0$) với $a \neq 0$.

2. Cách giải bất phương trình bậc hai

Để giải bất phương trình bậc hai, ta thực hiện các bước:

1. Tìm nghiệm của tam thức bậc hai tương ứng (nếu có).

2. Lập bảng xét dấu hoặc sử dụng định lý về dấu của tam thức.

3. Chọn các khoảng thỏa mãn chiều của bất phương trình và kết luận tập nghiệm $S$.

III. Các dạng bài tập tự luyện và lời giải chi tiết

Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai

a) $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$

• Lời giải:

  • Ta có: $\Delta = b^2 - 4ac = 9 - 20 = -11 < 0$.

  • Vì $\Delta < 0$, tam thức luôn cùng dấu với hệ số $a$.

  • Mà $a = 5 > 0 \Rightarrow f(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

b) $f(x) = -2x^2 + 3x + 5$

• Lời giải:

  • Ta có: $\Delta = 3^2 - 4(-2)(5) = 49 > 0$.

  • Tam thức có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = -1$; $x_2 = \frac{5}{2}$.

  • Hệ số $a = -2 < 0$.

  • Bảng xét dấu:

Kết luận: $f(x) > 0$ khi $x \in (-1; \frac{5}{2})$; $f(x) < 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{2}; +\infty)$; $f(x) = 0$ khi $x = -1$ hoặc $x = \frac{5}{2}$.

c) $f(x) = x^2 + 12x + 36$

• Lời giải:

  • Ta có: $\Delta = 12^2 - 4(1)(36) = 0$.

  • Tam thức có nghiệm kép $x = -6$, hệ số $a = 1 > 0$.

  • Bảng xét dấu:

Kết luận: $f(x) > 0$ với $\forall x \neq -6$; $f(x) = 0$ khi $x = -6$.

d) $f(x) = (2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 7x - 15$

• Lời giải:

  • Ta có: $\Delta = 7^2 - 4(2)(-15) = 169 > 0$.

  • Tam thức có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = -5$; $x_2 = \frac{3}{2}$. Hệ số $a = 2 > 0$.

  • Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

 f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu của biểu thức phức hợp

a) $f(x) = (3x^2 - 10x + 3)(4x - 5)$

• Tam thức $3x^2 - 10x + 3$ có nghiệm $x = \frac{1}{3}$ và $x = 3$.

• Nhị thức $4x - 5$ có nghiệm $x = \frac{5}{4}$.

• Bảng xét dấu tổng hợp: 

Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x² - 4x)(2x² - x - 1)

- Tam thức 3x² – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x² – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x² – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

⇒ 2x² – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

- Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x² – 1)(–8x² + x – 3)(2x + 9)

- Tam thức 4x² – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

⇒ 4x² – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

- Tam thức –8x² + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm.

- Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

- Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

 f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}

 f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

d) f(x) = [(3x² - x)(3 - x²)]/[4x² + x - 3]

- Tam thức 3x² – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3x² – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

- Tam thức 3 – x² có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

⇒ 3 – x² mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

- Tam thức 4x² + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

⇒ 4x² + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

- Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có: 

 f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

 f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}

 f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

 f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

a) $4x^2 - x + 1 < 0$

• Xét $f(x) = 4x^2 - x + 1$. Ta có $\Delta = -15 < 0$ và $a = 4 > 0$.

• $\Rightarrow f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

• Kết luận: Bất phương trình vô nghiệm.

b) $-3x^2 + x + 4 \ge 0$

• Tam thức có nghiệm $x = -1$ và $x = \frac{4}{3}$, hệ số $a = -3 < 0$.

• Áp dụng quy tắc "Trong trái": $f(x) \ge 0$ khi $-1 \le x \le \frac{4}{3}$. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)

• Tập nghiệm: $S = [-1; \frac{4}{3}]$. 

c) $\frac{1}{x^2-4} < \frac{3}{3x^2+x-4}$ (*)

• ĐKXĐ: $x \neq \pm 2; x \neq 1; x \neq -\frac{4}{3}$.

• Biến đổi: $(*) \Leftrightarrow \frac{3x^2+x-4 - 3(x^2-4)}{(x^2-4)(3x^2+x-4)} < 0 \Leftrightarrow \frac{x+8}{(x^2-4)(3x^2+x-4)} < 0$.

• Lập bảng xét dấu cho biểu thức vế trái, ta được tập nghiệm:

Từ bảng xét dấu ta có:

Tập nghiệm: $S = (-\infty; -8) \cup (-2; -\frac{4}{3}) \cup (1; 2)$.

d) x² - x - 6 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = x² - x - 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

Suy ra: f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

Vạy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

Dạng 3: Xác định tham số m để phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình $(m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0$ (*) vô nghiệm.

• Trường hợp 1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$

  • Phương trình thành: $2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -2$ (Có nghiệm).

  • Vậy $m = 2$ không thỏa mãn.

• Trường hợp 2: $m \neq 2$

  • Phương trình vô nghiệm khi $\Delta' < 0$.

  • $\Delta' = (2m - 3)^2 - (m - 2)(5m - 6) = -m^2 + 4m - 3$.

  • Xét $-m^2 + 4m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < 1$ hoặc $m > 3$.

• Kết luận: Với $m \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình $(3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0$ (*) vô nghiệm.

Để tìm tham số $m$ giúp phương trình vô nghiệm, chúng ta cần xét hai trường hợp của hệ số $a$:

• Trường hợp 1: Xét hệ số $a = 0$

  • Ta có: $3 - m = 0 \Leftrightarrow m = 3$.

  • Thay $m = 3$ vào phương trình (*), ta được:

    $$-2(3 + 3)x + 3 + 2 = 0 \Leftrightarrow -12x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{12}$$

  • Vì phương trình có một nghiệm duy nhất nên $m = 3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Trường hợp 2: Xét hệ số $a \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 3$

  • Để phương trình bậc hai (*) vô nghiệm, điều kiện cần và đủ là biệt thức $\Delta' < 0$.

  • Ta có:

    $$\Delta' = [-(m + 3)]^2 - (3 - m)(m + 2)$$
    $$\Delta' = (m^2 + 6m + 9) - (3m + 6 - m^2 - 2m)$$
    $$\Delta' = 2m^2 + 5m + 3$$

  • Xét dấu tam thức $\Delta' = 2m^2 + 5m + 3$:

    Tam thức có hai nghiệm là $m = -1$ và $m = -\frac{3}{2}$, hệ số $a = 2 > 0$.

  • Theo quy tắc xét dấu, $\Delta' < 0 \Leftrightarrow -\frac{3}{2} < m < -1$.

Kết luận: Với $m \in \left( -\frac{3}{2}; -1 \right)$, phương trình đã cho vô nghiệm.