Các công thức lượng giác lớp 10 (quan trọng) cần nhớ - Toán 10

Việc hệ thống lại các công thức lượng giác lớp 10 là cực kỳ quan trọng để các em có thể giải quyết tốt các bài toán biến đổi và làm tiền đề vững chắc cho chương trình lớp 11. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

I. Các công thức lượng giác cơ bản

Đây là những hệ thức nền tảng nhất mà bất kỳ học sinh nào cũng phải thuộc lòng:

• $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$

• $1 + \tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} \quad (\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi)$

• $1 + \cot^{2}\alpha = \frac{1}{\sin^{2}\alpha} \quad (\alpha \neq k\pi)$

• $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \quad (\alpha \neq \frac{k\pi}{2})$

II. Công thức lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Mối quan hệ giữa các cung góc đặc biệt giúp các em rút gọn biểu thức một cách nhanh chóng.

1. Cung đối nhau: $\alpha$ và $-\alpha$

• $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$

• $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$

• $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$

• $\cot(-\alpha) = -\cot\alpha$

2. Cung bù nhau: $\alpha$ và $\pi - \alpha$

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$

• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$

• $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$

• $\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha$

3. Cung hơn kém nhau $\pi$: $\alpha$ và $\pi + \alpha$

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$

• $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$

• $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$

• $\cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha$

4. Cung phụ nhau: $\alpha$ và $\frac{\pi}{2} - \alpha$

• $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$

• $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$

• $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot\alpha$

• $\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan\alpha$

Mẹo ghi nhớ: "Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Khác pi Tan (Cot)". Tức là: Cung đối chỉ Cos dương; cung bù chỉ Sin dương; cung phụ thì chéo nhau; cung hơn kém $\pi$ thì Tan và Cot dương.

III. Công thức lượng giác: Công thức cộng

Công thức cộng là chìa khóa để khai triển các góc phức tạp:

• $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

• $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

• $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

• $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

• $\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$

• $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$

  Mẹo ghi nhớ: "Cos thì cos cos sin sin; Sin thì sin cos cos sin rõ ràng; Cos thì đổi dấu hỡi chàng; Sin thì giữ dấu xin nàng nhớ cho. Tang tổng thì lấy tổng tang; Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

IV. Công thức lượng giác: Công thức nhân đôi

Dùng để hạ bậc hoặc thu gọn các góc gấp đôi:

• $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha$

• $\cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

• $\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

V. Công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng

• $\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)]$

• $\sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) - \cos(a+b)]$

• $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a-b) + \sin(a+b)]$

Mẹo nhớ: "Cos cos bằng nửa cos_trừ cộng cos_cộng; Sin sin bằng nửa cos_trừ trừ cos_cộng; Sin cos bằng nửa sin_trừ cộng sin_cộng".

VI. Công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích

• $\cos u + \cos v = 2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$

• $\cos u - \cos v = -2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$

• $\sin u + \sin v = 2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$

• $\sin u - \sin v = 2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$

Mẹo nhớ: "Cos cộng cos bằng hai cos cos; Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin; Sin cộng sin bằng hai sin cos; Sin trừ sin bằng hai cos sin".