Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng trong Oxy - Toán 10 chuyên đề

Vậy cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng trong Oxy như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây và cùng xem các bài tập và ví dụ minh họa để hiểu rõ nhé.

Các em có thể xem lại nội dung phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng nếu các em chưa nhớ rõ phần kiến thức này.

° Cách tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng trong Oxy

* Cách giải 1: 

• Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:

- Lập phương trình đường thẳng (d') qua M vuông góc với (d). (các em có thể xem lại cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm vuông góc với 1 đường thẳng).

- H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d').

* Cách giải 2:

• Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm A lên đường thẳng (d): ax + by + c = 0 ta làm như sau:

+ Bước 1: Gọi tọa độ điểm H(x_H; y_H).

 Vì điểm H thuộc (d) nên: ax_H + by_H + c = 0 (1).

+ Bước 2: Do AH vuông góc d nên  là VTPT của (d), tức là:

  = (x_H - x_A; y_H - y_A) và =(a; b) cùng phương

⇒ b(x_H - x_A) - a(y_H - y_A )= 0 (2)

+ Bước 3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

* Ví dụ 1: Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có phương trình: x + 2y - 6 = 0

* Lời giải:

¤ Giải theo cách 1:

- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)

- Vì (d) có phương trình: x + 2y - 6 = 0 nên VTPT của (d) là:  = (1;2)

- Lại có (d') ⊥ (d) nên (d') nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒  =(1;2)

- Phương trình đường thẳng (d') qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là:

- Vì H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:

 Thay x,y từ (d') và phương trình (d), ta có:

 (3+t) + 2(-1+2t) - 6 = 0

 ⇔ 5t - 5 = 0 ⇔ t =1

⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.

Vậy tọa độ H(4;1)

* Ví dụ 2: Tìm hình chiếu của điểm M(1;3) lên đường thẳng (d): x - y = 0

* Lời giải:

¤ Giải theo cách 1:

- Gọi (d') là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)

- Vì (d) có phương trình: x - y = 0 nên VTPT của (d) là:  = (1;-1)

- Lại có (d') ⊥ (d) nên (d') nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒  =(1;-1)

- Phương trình đường thẳng (d') qua M(1;3) có VTCP (1;-1) là:

- Vì H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d') nên có:

 Thay x,y từ (d') và phương trình (d), ta có:

 (1 + t) - (3 - t) = 0

⇔ 2t = 2 ⇔ t = 1

Vậy tọa độ H là: (2;2)

¤ Giải theo cách 2:

+ Gọi H(a;b) là hình chiếu của M lên (d).

+ Do H ∈ (d) nên ta có: a - b = 0 (1)

Ta có:  = (a - 1; b - 3)

Đường thẳng MH vuông góc với (d) nên:

  = (1;-1) cùng phương với = (a - 1; b - 3)

hay VTCP: =(1;1) ⊥ = (a - 1; b - 3)

Suy ra: 1.(a - 1) + 1.(b - 3) = 0

⇔ a + b = 4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = 2; b = 2

Vậy tọa độ của H(2;2)