Công thức tích vô hướng của hai vectơ và tính chất tích vô hướng, Góc giữa hai vectơ? Toán 10 chân trời tập 1 chương 5 bai 4

08:16:0525/11/2023

Lý thuyết Bài 4: Tích của một số với một Vectơ chương 5 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo Tập 1. Nội dung về góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và tính chất.

Công thức tích vô hướng của hai vectơ và tính chất tích vô hướng, Góc giữa hai vectơ là gì? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Góc giữa hai vectơ

• Cho hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ đều khác $\small \overrightarrow{0}$ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\small \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$

Góc giữa hai vectơ

Góc $\small \widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ .

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là ( $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ ).

Nếu ( $\small \overrightarrow{a}$ , $\vec{b}$ ) = 90^o thì ta nói rằng $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ ⊥ $\small \overrightarrow{b}$

* Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có ( $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ ) = ( $\small \overrightarrow{b}$ , $\small \overrightarrow{a}$ )

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\small \overrightarrow{0}$ luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\small \overrightarrow{0}$ luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ hoặc $\small \overrightarrow{b}$ là vectơ $\small \overrightarrow{0}$ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Góc giữa hai vectơ

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ đều khác $\small \overrightarrow{0}$ .

Tích vô hướng của $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ , được xác định bởi công thức:

$\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = | $\small \overrightarrow{a}$ |.| $\small \overrightarrow{b}$ |.cos( $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ ).

* Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ bằng $\vec{0}$ , ta quy ước $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = 0.

b) Với hai vectơ $\small \overrightarrow{a}$ và $\small \overrightarrow{b}$ , ta có $\small \overrightarrow{a}$ ⊥ $\small \overrightarrow{b}$ ⇔ $\small \overrightarrow{a}$ . $\small \overrightarrow{b}$ = 0

c) Khi $\small \overrightarrow{a}$ = $\small \overrightarrow{b}$ thì tích vô hướng $\small \overrightarrow{a}$ . $\vec{a} . \vec{b}$ được kí hiệu là $\small \overrightarrow{a}$ ² và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\small \overrightarrow{a}$

Ta có $\small \overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{a}|cos0^0=|\overrightarrow{a}|^2$ . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

3. Tính chất của tích vô hướng

Cho ba vectơ $\small \overrightarrow{a}$ , $\small \overrightarrow{b}$ , $\small \overrightarrow{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

• $\small \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$

• $\small \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$

• $\small (k\overrightarrow{a})\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})$

* Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

$\small (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

* Lời giải:

Ta có: $\small (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

$\small =\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$\small =\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

$\small =\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

Vậy: $\small (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

* Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

$\small (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$

$\small (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2$

Với nội dung bài viết về: Công thức tích vô hướng của hai vectơ và tính chất tích vô hướng, Góc giữa hai vectơ? Toán 10 chân trời tập 1 chương 5 bai 4 chi tiết, dễ hiểu ở trên. Hay Học Hỏi hy vọng giúp các em nắm vững nội dung Lý thuyết Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để được ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.