Mệnh đề là gì, khái niệm mệnh đề phủ định, mệnh đề tương đương, mệnh đề chứa biến? Toán 10 chân trời tập 1 chương 1 bài 1

Khái niệm Mệnh đề là gì, mệnh đề phủ định, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương, mệnh đề chứa biến, mệnh đề chứa kí tự ∃ ∀ là gì? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Mệnh đề

– Những khẳng định có tính hoặc đúng hoặc sai được gọi là mệnh đề logic (hay mệnh đề).

– Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

• Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.

• Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

* Chú ý:

- Người ta thường sử dùng các chữ cái in hoa P, Q, R, … để kí hiệu các mệnh đề.

- Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

* Ví dụ:

+ “Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0” là một mệnh đề.

+ “Số 2 là số chẵn” là mệnh đề đúng.

+ “Số 4 là số lẻ” là mệnh đề sai.

+ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học vì không liên quan đến toán học.

+ “Số  là một số vô tỉ” là mệnh mệnh đề đúng.

2. Mệnh đề chứa biến

– Mệnh đề chứa biến là mệnh đề chưa khẳng định được tính đúng sai, cần có giá trị cụ thể của biến mới có thể khẳng định tính đúng sai của mệnh đề đó.

– Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n).

– Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.

* Ví dụ: Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) P(x): “x² = 2”;

b) Q(x): “x² + 1 > 0”;

c) R(n): “n + 2 chia hết cho 3” (n là số tự nhiên). 

* Lời giải:

a) Ta có:

Với x = 2 ta được P(2): “2² = 2” là một mệnh đề sai.

Với  ta được "" là một mệnh đề đúng.

b) Ta có:

Với x = 1 ta được: Q(1): “1² + 1 > 0” là một mệnh đề đúng.

Vì x² ≥ 0. ∀x nên x² + 1 > 0 với mọi x. Do đó không tồn tại giá trị của x để mệnh đề Q(x) là một mệnh đề sai.

c) Ta có:

Với n = 1 ta được R(1): “1 + 2 chia hết cho 3” là một mệnh đề đúng.

Với n = 2 ta được R(2): “2 + 2 chia hết cho 3” là một mệnh đề sai.

3. Mệnh đề phủ định

– Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là 

– Mệnh đề P và mệnh đề phủ định  của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì  sai, khi P sai thì  đúng.

* Nhận xét: Thông thường để phủ định một mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

* Ví dụ: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh;

b) 23 là số nguyên tố;

c) 2 021 chia hết cho 3;

d) Phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm.

* Lời giải:

a) Gọi A: “Paris là thủ đô của nước Anh”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề A là  : “Paris không là thủ đô của nước Anh”.

Thủ đô của Anh là Luân Đôn. Do đó mệnh đề A là mệnh đề sai và  là mệnh đề đúng.

b) Gọi B: “23 là số nguyên tố”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề B là : “23 không là số nguyên tố”.

Ta có 23 chỉ có ước là 1 và chính nó nên 23 là số nguyên tố.

Do đó mệnh đề B là mệnh đề đúng và là  mệnh đề sai.

c) Gọi C: “2 021 chia hết cho 3”

Mệnh đề phủ định của C là : “2 021 không chia hết cho 3”.

Ta có 2 + 0 + 2 + 1 = 5 không chia hết cho 3 nên 2 021 không chia hết cho 3.

Do đó C là mệnh đề sai và  là mệnh đề đúng.

d) Gọi D: “Phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm”.

Mệnh đề phủ định của D là  : “Phương trình x² – 3x + 4 = 0 có nghiệm”.

Xét phương trình x² – 3x + 4 = 0 có ∆ = (-3)² – 4.4 = 9 – 16 = -7 < 0.

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Do đó D là mệnh đề đúng và  là mệnh đề sai.

4. Mệnh đề kéo theo

– Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là P ⇒ Q.

– Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

* Nhận xét:

+ Mệnh đề P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

+ Để xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng.

Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. Ta đã quen với điều này khi chứng minh nhiều định lí ở Trung học cơ sở.

* Ví dụ: Xét hai mệnh đề:

P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”;

Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q. 

b) Mệnh đề P ⇒ Q có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.

* Lời giải:

a) Mệnh đề P  Q được phát biểu như sau:

P  Q: “Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

b) Mệnh đề P  Q là mệnh đề đúng. Do đó mệnh đề P  Q là một định lí.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau là điều kiện đủ để có hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để có hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

• Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

* Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

• Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P ⇔ Q (đọc là “P tương đương Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”).

• Khi đó ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều kiện cần và đủ để có P).

* Ví dụ: Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P ⇔ Q.

* Lời giải:

a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: 

P  Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Mệnh đề đảo Q ⇒ P được phát biểu như sau: 

Q  P: “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là là hình vuông”.

b) +) Tứ giác ABCD là hình vuông thì ABCD là hình chữ nhật 

Hơn nữa do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Vì vậy mệnh đề P ⇒ Q đúng. (1)

+) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông (theo dấu hiệu nhận biết).

Do đó mệnh đề Q ⇒ P đúng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra P ⇔ Q và được phát biểu như sau:

“Tứ giác ABCD là hình vuông là điểu kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

“Nếu tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

6. Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ và ∃

– Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

– Kí hiệu ∃ đọc là “tồn tại”.

– Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” đúng nếu với mọi x₀ ∈ M, P(x₀) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” đúng nếu có x₀ ∈ M sao cho P(x₀) là mệnh đề đúng.

* Ví dụ 1: Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

* Lời giải:

Bằng cách sử dụng kí hiệu các mệnh đề được viết:

a) "∀x ∈ R, x + (–x) = 0"

b) "∃x ∈ N, x² = 9"

* Ví dụ 2: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) ∀x ∈ R, x² > 0

b) ∃x ∈ R, x² = 5x – 4

c) ∃x ∈ Z, 2x + 1 = 0

* Lời giải:

a) Gọi: P: "∀x ∈ R, x² > 0"

Chọn x = 0 ∈ ℝ, ta thấy x² = 0² = 0 > 0 (vô lí).

Do đó mệnh đề P sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là : ∃x ∈ R, x² ≤ 0

b) Gọi Q: "∃x ∈ R, x² = 5x – 4"

Xét phương trình: x² = 5x – 4 

⇔ x² – 5x + 4 = 0 

⇔ x = 1 hoặc x = 4

Ta thấy hai nghiệm 1 và 4 đều là các số thực.

Do đó mệnh đề Q đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là : "∀x ∈ R, x² ≠ 5x – 4"

c) Gọi H: "∃x ∈ Z, 2x + 1 = 0"

Xét 2x + 1 = 0 ⇔ x = –1/2 ∉ Z

Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x để 2x + 1 = 0.

Vì vậy mệnh đề H là mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề H là : "∀x ∈ Z, 2x + 1 ≠ 0"