Phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng, Vectơ chỉ phương, Vectơ pháp tuyến? Toán 10 chân trời tập 2 chương 9 bài 2

Tìm Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Phương trình đường thẳng

1.1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến

Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu  và giá của  song song hoặc trùng với ∆.

Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu  và  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

* Chú ý:

• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến  thì ∆ sẽ nhận  hoặc  là một vectơ chỉ phương.

• Nếu  là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

• Nếu  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

* Ví dụ: 

a) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương . Tìm một vectơ pháp tuyến của d.

b) Cho đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến . Tìm vectơ chỉ phương của d’.

* Lời giải:

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

⇒ d cũng có vectơ chỉ phương  và có vectơ pháp tuyến 

Vậy d có vectơ pháp tuyến 

b) d’ có vectơ pháp tuyến

Suy ra d’ có vectơ chỉ phương

1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:

 (Với u₁² + u₂² > 0, t ∈ R)

là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀), có vectơ chỉ phương 

* Chú ý: Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.

* Ví dụ: 

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(–9; 5) và nhận vectơ  = (8; –4) làm vectơ chỉ phương.

b) Tìm tọa độ P trên ∆ biết P có tung độ bằng 1 và ∆ có phương trình tham số::

* Lời giải:

a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(–9; 5) và nhận vectơ  = (8; –4) làm vectơ chỉ phương là: 

b) Tìm tọa độ P trên ∆, biết P có tung độ bằng 1.

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: 

Vì P ∈ ∆ nên tọa độ điểm P là P(2 – 3t; 7 + 5t).

Ta lại có tung độ của điểm P bằng 1 nên 7 + 5t = 1

⇔ 5t = 1 – 7

⇔ 5t = –6

⇔ t = –6/5

Thay t = –6/5 vào tọa độ điểm P ta được:

P = (2 – 3.(–6/5); 7 + 5.(–6/5)) = (28/5; 1) 

1.3. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

* Chú ý:

• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến 

• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.

* Ví dụ: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến  = (3; 5);

b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ chỉ phương  = (2; –7);

c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3).

* Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến  = (3; 5) là:

3(x – 1) + 5(y – 1) = 0

⇔ 3x – 3 + 5y – 5 = 0

⇔ 3x + 5y – 8 = 0.

Ta có vectơ pháp tuyến của ∆ là  = (3; 5) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là  = (–5; 3). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ chỉ phương  = (–5; 3) là:

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 3x + 5y – 8 = 0

và phương tình tham số của ∆ là

b) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ chỉ phương  = (2; –7) là: 

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là  = (2; –7) nên vectơ pháp tuyến  = (7; 2). Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm O(0; 0) và có vectơ pháp tuyến  = (7; 2) là:

7(x – x₀) + 2(y – y₀) = 0

⇔ 7(x – 0) + 2(y – 0) = 0

⇔ 7x + 2y = 0.

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 7x + 2y = 0

Và phương trình tham số ∆ là: 

c) Ta có (–4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và nhận vectơ chỉ phương là (–4; 3) là:

 

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là (–4; 3) do đó vectơ pháp tuyến là (3; 4).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 0) và có vectơ pháp tuyến  = (3; 4) là:

3(x – 4) + 4(y – 0) = 0

⇔ 3x + 4y – 12 = 0.

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là 3x + 4y – 12 = 0

và phương trình tham số ∆ là: 

* Nhận xét:

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) có dạng:

 (với x_B ≠ x_A, y_B ≠ y_A).

• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng:

   (1)

Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.

* Ví dụ:

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm P(2; 3), Q(1; 5).

Suy ra phương trình đường thẳng ∆:

  

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là:

+) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm R(–3; 0) và S(0; 2).

Vậy phương trình đoạn chắn của ∆:

1.4. Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + y₀ (k ≠ 0) là một đường thẳng d đi qua điểm M(0; y₀) và có hệ số góc k. Ta có thể viết: y = kx + y₀ ⇔ kx – y + y₀ = 0.

Như vậy, đồ thị hàm bậc nhất y = kx + y₀ là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến  và có phương trình tổng quát là kx – y + y₀ = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.

Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 với a và b đều khác 0, khi đó ta có thể viết: ax + by + c = 0

  ⇔ y = kx + y₀.

Như vậy d là đồ thị của hàm bậc nhất y = kx + y₀ với hệ số góc và tung độ gốc 

* Chú ý:

• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành y = –c/b.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm (0; –c/b)

• Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành x = –c/a

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm (–c/a; 0)

Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 (a₁² + b₁² > 0) có vectơ pháp tuyến  và đường thẳng ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 (a₂² + b₂² > 0) có vectơ pháp tuyến .

Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để xét vị trí tương đối của ∆₁ và ∆₂ như sau:

– Nếu  và  cùng phương thì ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ∆₁.

+ Nếu P ∈ ∆₂ thì ∆₁ ≡ ∆₂.

+ Nếu P ∉ ∆₂ thì ∆₁ // ∆₂.

– Nếu  và  không cùng phương thì ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tại một điểm M(x₀; y₀) với (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình:

* Chú ý:

a) Nếu . thì  ⊥ , suy ra ∆₁ ⊥ ∆₂.

b) Để xét hai vectơ ,  cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a₁b₂ – a₂b₁:

+ Nếu a₁b₂ – a₂b₁ = 0 thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0 thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số a₁, a₂, b₁, b₂ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

+ Nếu  thì hai vectơ cùng phương.

+ Nếu   thì hai vectơ không cùng phương.

* Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: x – 5y + 9 = 0 và d₂: 10x + 2y + 7 = 10;

b)  và 

c)  và

* Lời giải:

a) Ta có d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là (1; –5) và (10; 2)

Ta lại có: .= a₁a₂ – b₁b₂ = 1.10 + 2.(-5) = 0, suy ra  ⊥

Vì vậy d₁ và d₂ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

b) Vec tơ chỉ phương của d₂ là (4; 3)

Khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₂ là (–3; 4).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là (3; –4).

Ta có: a₁b₂ – b₁a₂ = (–3).(–4) – 3.4 = 0.

Suy ra hai vectơ  và  cùng phương.

Do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng d₂, thay tọa độ của M vào phương trình đường thẳng d₁ ta được:

3.1 – 4.1 + 9 = 8 ≠ 0,

⇒ M không thuộc d₁.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song.

c) Đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vec tơ chỉ phương là (4; 3) và (8; 6).

Ta có: a₁b₂ – b₁a₂ = 4.6 – 3.8 = 24 – 24 = 0. Suy ra hai vectơ  và  cùng phương.

Do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng d₂, thay tọa độ của M vào phương trình đường thẳng d₁ ta được:

⇒ M thuộc d₁.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ trùng nhau.

3. Góc giữa hai đường thẳng

3.1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành bốn góc.

• Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂ thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

• Nếu ∆₁ vuông góc với ∆₂ thì ta nói góc giữa ∆₁ và ∆₂ bằng 90°.

Ta quy ước: Nếu ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆₁ và ∆₂ bằng 0°.

Như vậy góc α giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: 0° ≤ α ≤ 90°.

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là  hoặc (∆₁, ∆₂).

3.2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là  

Ta có công thức: 

* Nhận xét: Nếu ∆₁, ∆₂ có vectơ chỉ phương 

* Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:

• Nếu ∆₁ và ∆₂ lần lượt có phương trình a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0 thì ta có:

(∆₁, ∆₂) = 90° ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ = 0.

• Nếu ∆₁ và ∆₂ lần lượt có phương trình y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ thì ta có:

(∆₁, ∆₂) = 90° ⇔ k₁k₂ = –1.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng –1 thì vuông góc với nhau.

* Ví dụ: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trong các trường hợp sau:

a) ∆₁: x + 3y – 7 = 0 và ∆₂: x – 2y + 3 = 0;

b) ∆₁: 4x – 2y + 5 = 0 và ∆₂: 

c) ∆₁:  và ∆₂:

* Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁: x + 3y – 7 = 0 có VTPT là  = (1; 3).

Đường thẳng ∆₂: x – 2y + 3 = 0 có VTPT là  = (1; –2).

Ta có: 

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 45°.

b) Đường thẳng ∆₁: 4x – 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là (4; –2)

Đường thẳng ∆₂:  có vectơ chỉ phương (1; 2) hay vectơ pháp tuyến là (2; –1).

Ta có: a₁.b₂ – a₂.b₁ =4.(–1) – (–2).2 = 0.

Do đó hai vectơ  và  cùng phương.

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 0°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 0°.

c) Đường thẳng ∆₁:  có vectơ chỉ phương là (1; 2)

Đường thẳng ∆₂: có vectơ chỉ phương là (2; -1)

Ta có:

Do đó hai vectơ  và vuông góc.

Suy ra (∆₁; ∆₂) = 90°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là 90°.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a² + b² > 0) và điểm M₀(x₀; y₀). Khoảng cách từ điểm M₀ đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M₀, ∆), được tính bởi công thức: 

* Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

* Lời giải:

+) Tính độ dài đường cao từ C hạ xuống cạnh AB

Ta có:

Đường thẳng AB nhận  làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AB là . Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

1(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ x – 4y + 3 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ C là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB:

+) Tính độ dài đường cao từ B hạ xuống cạnh AC

Ta có: 

Đường thẳng AC nhận  làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AC là  Khi đó phương trình đường thẳng AC là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0

⇔ x – y = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ B là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC:

+) Tính độ dài đường cao từ A hạ xuống cạnh BC

Ta có:

Đường thẳng BC nhận ) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của BC là . Khi đó phương trình đường thẳng BC là:

2(x – 4) + 1(y – 4) = 0

⇔ 2x + y – 12 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ A là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

Vậy khoảng cách của các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác lần lượt là: