Giải bài 2 trang 27 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Mệnh đề

Đề bài:

Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) Nếu 2a – 1 > 0 thì a > 0 (a là số thực cho trước);

b) a – 2 > b nếu và chỉ nếu a > b + 2 (a, b là hai số thực cho trước).

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán này yêu cầu chúng ta xét tính đúng sai của hai mệnh đề.

• Với mệnh đề dạng "Nếu P thì Q" (mệnh đề kéo theo): Mệnh đề này được coi là đúng nếu từ giả thiết P, ta có thể suy ra được kết luận Q. Nó chỉ sai khi giả thiết P đúng nhưng kết luận Q lại sai.

• Với mệnh đề dạng "P nếu và chỉ nếu Q" (mệnh đề tương đương): Mệnh đề này được coi là đúng khi P và Q có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). Điều này có nghĩa là, từ P ta phải suy ra được Q, và ngược lại, từ Q ta cũng phải suy ra được P.

Các phép biến đổi bất đẳng thức (như cộng, trừ, nhân, chia) cần được áp dụng đúng quy tắc để đảm bảo tính tương đương của các mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tính đúng sai của mệnh đề "Nếu  thì  (a là số thực cho trước)"

Ta sẽ biến đổi bất đẳng thức ở vế trái (giả thiết) để xem nó có tương đương với bất đẳng thức ở vế phải (kết luận) hay không.

Cho giả thiết:  

Cộng 1 vào cả hai vế:

Chia cả hai vế cho 2 (số dương, không đổi chiều bất đẳng thức):

Vì  thì hiển nhiên là đúng (vì  lớn hơn 0).

Do đó, mệnh đề đã cho là đúng.

b) Xét tính đúng sai của mệnh đề " nếu và chỉ nếu  (a, b là hai số thực cho trước)"

Đây là một mệnh đề tương đương. Ta cần kiểm tra cả hai chiều: từ trái sang phải và từ phải sang trái.

• Chiều từ trái sang phải (): Xét mệnh đề "Nếu  thì".

  Ta có:

  Cộng 2 vào cả hai vế: .

  Vậy, chiều này là đúng.

• Chiều từ phải sang trái (): Xét mệnh đề "Nếu  thì ".

  Ta có:  

  Trừ 2 vào cả hai vế: .

  Vậy, chiều này cũng đúng.

Vì cả hai chiều của mệnh đề tương đương đều đúng, nên mệnh đề đã cho là đúng.