Giải bài 12 trang 106 SGK Toán 9 tập 1: Đường tròn

Đề bài:

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức sau:

1. Quan hệ đường kính và dây: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

2. Định lý Pytago: Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh.

3. Quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.

Ta sẽ thực hiện các bước sau:

• Câu a: Dựng một đường vuông góc từ tâm đến dây $AB$ và sử dụng định lý Pytago để tính độ dài.

• Câu b: Kẻ đường phụ để tạo ra hình chữ nhật và từ đó suy ra khoảng cách từ tâm đến dây $CD$, sau đó so sánh với khoảng cách từ tâm đến dây $AB$.

Lời giải chi tiết bài 12 trang 106 Toán 9:

Ta có hình vẽ minh hoạ như sau:

a) Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.

Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

Suy ra: J là trung điểm của AB.

Nên có: 

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có:

OJ² = OA² – AJ² = 5² – 4² = 9 (OA = R = 5cm)

⇒ OJ = 3cm   (*)

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm.

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M.

Tứ giác OJIM có:  nên là hình chữ nhật

Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm

⇒ OM = IJ = 3cm (Tính chất hình chữ nhật)   (**)

Từ (*), (**) ⇒ CD = AB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). (đpcm)