Giải bài 4 trang 56 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

Đề bài:

Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax² + bx + c có f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5.

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán cho hàm số bậc hai y=ax²+bx+c và ba điều kiện về giá trị của hàm số tại các điểm $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=5$.

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Xác định các hệ số $a,b,c$: Ta sẽ thay các giá trị của $x$ và $y$ đã cho vào phương trình hàm số để lập một hệ phương trình ba ẩn. Sau đó, giải hệ phương trình này để tìm $a,b,c$.

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên: Sau khi tìm được hàm số, ta sẽ xác định tọa độ đỉnh của parabol và chiều quay của nó để tìm tập giá trị và khoảng biến thiên.

Lời giải chi tiết:

a) Theo bài ra, ta có:

f(0) = a.0² + b.0 + c = 1 ⇔ c = 1.

f(1) = a.1² + b.1 + c = 2 ⇔  a + b + c = 2.

f(2) = a.2² + b.2 + c = 5 ⇔  4a + 2b + c = 5.

Khi đó, ta có hệ phương trình: 

Vậy a = 1, b = 0 và c = 1.

Khi đó hàm số bậc 2 có dạng: y = f(x) = x² + 1

b) Với a = 1, b = 0 và c = 1 thì ta có hàm số: y = x² + 1.

Xét hàm số bậc hai: y = x² + 1, có:

Đỉnh S có tọa độ x_s = -b/2a = -0/2.1 = 0.

Suy ra: y_s = 0² + 1 = 1.

Hay S(0; 1).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0. Do đó tập giá trị của hàm số là [1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).