Hotline 0962 782 149

Công thức, cách tính Đạo hàm theo định nghĩa và mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục - Toán lớp 11

10:35:2908/01/2020

Đạo hàm là nội dung quan trọng vì nó xuất hiện trong nhiều dạng toán giải tích ở chương trình toán phổ thông. Vì vậy, nắm vững khái niệm về đạo hàm sẽ giúp các em dễ tiếp thu các bài học sau này.

Trong bài này chúng ta cùng tìm hiểu về đạo hàm, công thức và cách tính đạo hàm theo định nghĩa, mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số. Đồng thời vận dụng giải một số dạng bài tập như viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, hay viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k,... để hiểu rõ hơn.

I. Tóm tắt lý thuyết về đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

• Định nghĩa: Cho hàm số small y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x₀∈ (a;b), nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn):

$small lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số small y=f(x) tại điểm x₀ và ký hiệu là f'(x₀) (hoặc y'(x₀)), tức là:

$small f'(x_{0})=lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

* Chú ý:

Đại lượng Δx = x - x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng Δy = f(x) - f(x₀) = f(x₀ + Δx) - f(x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số, khi đó:

$small y'(x_{0})=lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x}$

• Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng M nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x₀ ∈ K.

2. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

• Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ ⇒ f(x) liên tục tại x₀

3. Công thức, cách tính đạo hàm theo định nghĩa

• Để tính đạo hàm theo định nghĩa thực hiện như sau:

- Bước 1: Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) với Δx là số gia của đối số tại x₀

- Bước 2: lập tỉ số $small frac{Delta y}{Delta x}$

- Bước 3: Tìm $small lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x}$

II. Các dạng bài tập tính đạo hàm theo định nghĩa

° Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa

* Phương pháp:

- Bước 1: Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) = f(x) - f(x₀)

- Bước 2: lập tỉ số $small frac{Delta y}{Delta x}$

- Bước 3: Tính $small lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x}$

- Khi thay x₀ bằng x, ta tính được đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

* Ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11): Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:

a) y = x² + x tại x₀ = 1

b) $small y=frac{1}{x}$ tại x₀ = 2

c) $small y=frac{x+1}{x-1}$ tại x₀ = 0

° Lời giải ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11):

a) Ta có:

Δx = x - x₀ = x - 1 ⇔ x = Δx + 1

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) = f(1 + Δx) - f(1)

- Mặt khác:

f(1 + Δx) = (1 + Δx)² + (1 + Δx)

f(1) = (1² + 1) = 2

- Nên Δy = (1 + Δx)² + (1 + Δx) - 2

= 1 + 2Δx + (Δx)² + 1 + Δx - 2

= Δx(Δx+3)

$small Rightarrow frac{Delta y}{Delta x}=Delta x+3$

$small Rightarrow lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x}= lim_{Delta x ightarrow 0}(Delta x+3)=3$

- Vậy f'(1) = 3.

b) Ta có:

Δx = x - x₀ = x - 2 ⇔ x = Δx + 2

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) = f(2 + Δx) - f(2)

- Mặt khác:

$small f(2+Delta x)=frac{1}{2+Delta x}$ ; $small f(2)=frac{1}{2}$

- Nên $small Delta y=frac{1}{2+Delta x}-frac{1}{2}=frac{-Delta x}{2(2+Delta x)}$

$small Rightarrow frac{Delta y}{Delta x}=frac{-1}{2(2+Delta x)}$

$small Rightarrow lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x} = lim_{Delta x ightarrow 0}left ( frac{-1}{2(2+Delta x)} ight )$ $small =frac{-1}{2.2}=-frac{1}{4}$

- Vậy $small f'(2)=-frac{1}{4}$ .

c) Ta có:

Δx = x - 0 = x ⇔ x = Δx

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) = f(Δx) - f(0)

$small =frac{Delta x+1}{Delta x-1}-frac{0+1}{0-1}$ $small =frac{Delta x+1}{Delta x-1}+1=frac{2Delta x}{Delta x-1}$

$small Rightarrow frac{Delta y}{Delta x}=frac{2}{Delta x-1}$

$small Rightarrow lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta y}{Delta x} = lim_{Delta x ightarrow 0}frac{2}{Delta x-1}$ $small =frac{2}{-1}=-2$

- Vậy f'(0) = -2.

° Dạng 2: Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Phương pháp:

1> Hàm số có đạo hàm tại điểm x₀ thì liên tục tại điểm đó (điều ngược lại không đúng).

2> Để chứng mình hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀ ta thực hiện như sau:

- Chứng minh $small lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}$ không tồn tại.

- Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại x₀.

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 156 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng hàm số:

$small f(x)=left{egin{matrix} (x-1)^{2},xgeq 0 -x^{2},x< 0 end{matrix} ight.$

Không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 4 trang 156 SGK Đại số 11):

• Xét tại điểm x = 0:

$small lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{+}}(x-1)^{2}$ $small =(0-1)^{2}=1$

$small lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{-}}(-x)^{2}=(0)^{2}=1$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)$

⇒ Hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0

⇒ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

• Xét tại điểm x = 2:

$small lim_{x ightarrow 2}frac{f(x)-f(2)}{x-2} =lim_{x ightarrow 2}frac{(x-1)^{2}-1}{x-2}$

$small =lim_{x ightarrow 2}frac{x^{2}-2x}{x-2} =lim_{x ightarrow 2}frac{x(x-2)}{x-2}$ $small =lim_{x ightarrow 2}x=2$

⇒ Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f'(2) = 2.

* Ví dụ 2: Cho hàm số $small f(x)=left{egin{matrix} (x-1)^{2},xgeq 0\ (x+1)^{2},x<0 end{matrix} ight.$ . Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0.

° Lời giải:

• Chứng minh hàm số liên tục tại x = 0

$small lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{+}}(x-1)^{2}=1=f(0)$

$small lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{-}}(x+1)^{2}=1=f(0)$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)=f(0)$ nên hàm số liên tục tại x = 0.

• Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

$small lim_{x ightarrow 0^{+}}frac{f(Delta x)-f(0)}{Delta x} =lim_{x ightarrow 0^{+}}frac{(Delta x-1)^{2}-1}{Delta x}$ $small =lim_{x ightarrow 0^{+}}(Delta x-2)=-2$

$small lim_{x ightarrow 0^{-}}frac{f(Delta x)-f(0)}{Delta x} =lim_{x ightarrow 0^{-}}frac{(Delta x+1)^{2}-1}{Delta x}$ $small =lim_{x ightarrow 0^{-}}(Delta x+2)=2$

$small Rightarrow lim_{x ightarrow 0^{+}}frac{f(Delta x)-f(0)}{Delta x} eq lim_{x ightarrow 0^{-}}frac{f(Delta x)-f(0)}{Delta x}$

Nên không tồn tại $small lim_{x ightarrow 0}frac{f(Delta x)-f(0)}{Delta x}$ , vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

* Ví dụ 3: Cho hàm số: $small f(x)=left{egin{matrix} ax^{2}+bx,xgeq 1\ 2x-1,x<1 end{matrix} ight.$ . Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

° Lời giải:

• Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì hàm số liên tục tại x = 1.

$small lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)=lim_{x ightarrow 1^{+}}(ax^{2}+bx)$

$small lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x)=lim_{x ightarrow 1^{-}}(2x-1)=1$

small Rightarrow a+b=1 (*)

- Mặt khác ta có:

$small lim_{x ightarrow 1^{+}}frac{f(x)-f(1)}{x-1}=lim_{x ightarrow 1^{+}}frac{(ax^{2}+bx)-(a+b)}{x-1}$

$small =lim_{x ightarrow 1^{+}}frac{a(x^{2}-1)+b(x-1)}{x-1}$ $small =lim_{x ightarrow 1^{+}}[a(x+1)+b]=2a+b$

$small small lim_{x ightarrow 1^{-}}frac{f(x)-f(1)}{x-1} =lim_{x ightarrow 1^{-}}frac{(2x-1)-(a+b)}{x-1}$

$small =lim_{x ightarrow 1^{-}}frac{(2x-1)-1}{x-1} =lim_{x ightarrow 1^{-}}2=2$ (do thay a+b=1 vào)

- Như vậy để hàm f(x) có đạo hàm thì: small 2a+b=2 (**)

- Từ (*) và (**) ta có: $small left{egin{matrix} a+b=1\ 2a+b=2 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a=1\ b=0 end{matrix} ight.$

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm M₀(x₀;f(x₀)) ∈ (C).

* Phương pháp:

1) Tính $small f'(x_{0})=lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}$

hoặc $small f'(x_{0})=lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

2) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M₀ là k = f'(x₀).

3) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M₀ là:

y=f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).

* Ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x³.

a) Tại điểm (-1; -1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

$small lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} =lim_{x ightarrow x_{0}}frac{x^{3}-x_{0}^{3}}{x-x_{0}}$ $small =lim_{x ightarrow x_{0}}(x^{2}+x.x_{0}+x_{0}^{2})$

$small =x_{0}^{2}+x_{0}.x_{0}+x_{0}^{2}=3x_{0}^{2}$

$small Rightarrow y'(x_{0})=3x_{0}^{2}$

a) Tiếp tuyến của y = x³ tại điểm (-1; -1) có dạng:

y = y’(-1)(x + 1) + y(1)

- Mà y'(1) = 3.(-1)² = 3; y(1) = -1 nên:

y = 3(x + 1) – 1 =3x + 2

b) Tại điểm có hoành độ x₀ = 2;

⇒ y₀ = f(x₀) = f(2) = 2³ = 8;

⇒ f’(x₀) = f’(2) = 3.2² = 12.

- Vậy phương trình tiếp tuyến của y = x³ tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.

a) Tại điểm (1/2; 2);

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

$small lim_{x ightarrow x_{0}}frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} =lim_{x ightarrow x_{0}}frac{frac{1}{x}-frac{1}{x_{0}}}{x-x_{0}}$ $small =lim_{x ightarrow x_{0}}frac{frac{x_{0}-x}{x.x_{0}}}{x-x_{0}} =lim_{x ightarrow x_{0}}frac{-1}{x.x_{0}} =frac{-1}{x_{0}^{2}}$

$small Rightarrow f'(x_{0})=frac{-1}{x_{0}^{2}}$

a) Ta có: $small fleft ( frac{1}{2} ight )=-frac{1}{left (frac{1}{2} ight )^{2}}=-4$

- Nên phương trình tiếp tuyến của đường công tại điểm (1/2;2) là:

$small y=-4left ( x-frac{1}{2} ight )+2=-4x+4$

b) b) Tại điểm có hoành độ x₀ = -1;

⇒ y₀ = -1 ⇒ f’(x₀) = -1.

- Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong y = 1/x tại điểm có hoành độ -1 là:

y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) khi biết hệ số góc k

* Phương pháp:

1) Gọi điểm M₀(x₀; y₀) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C)

2) Tính $small f'(x_{0})=lim_{Delta x ightarrow 0}frac{f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}{Delta x}$

3) Giải phương trình k = f'(x₀) tìm x₀ rồi tìm được y₀ = f(x₀).

4) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k có dạng:

y = k(x - x₀) + y₀

* Chú ý:

- Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng hệ số góc k.

- Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích của hai hệ số góc k₁, k₂ bằng -1 (tức là k₁.k₂ = -1).

* Ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x³.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

° Lời giải ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.

- Ta có: f’(x₀) = 3 ⇔ 3x₀² = 3 ⇔ x₀² = 1 ⇔ x₀ = ±1.

- Với x₀ = 1 ⇒ y₀ = 1³ = 1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

- Với x₀ = -1 ⇒ y₀ = (-1)³ = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

- Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³ có hệ số góc bằng 3 là:

y = 3x – 2 và y = 3x + 2.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1/4.

° Lời giải ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k=-1/4.

- Ta có:

$small f'(x_{0})=-frac{1}{4}Leftrightarrow -frac{1}{x_{0}^{2}}=-frac{1}{4}$ $small Leftrightarrow x_{0}^{2}=4Leftrightarrow x_{0}=pm 2$

- Với $small x_{0}=2Rightarrow y_{0}=frac{1}{2}$ nên phương trình tiếp tuyến là:

$small y=-frac{1}{4}(x-2)+frac{1}{2}=-frac{1}{4}x+1$

- Với $small x_{0}=-22Rightarrow y_{0}=-frac{1}{2}$ nên phương trình tiếp tuyến là:

$small y=-frac{1}{4}(x+2)-frac{1}{2}=-frac{1}{4}x-1$

- Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của hypebol y=1/x có hệ số góc bằng -1/4 là:

$small y=-frac{1}{4}x+1$ và $small y=-frac{1}{4}x-1$

Hy vọng với bài viết Công thức, cách tính Đạo hàm theo định nghĩa và mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Công thức, cách tính Đạo hàm theo định nghĩa và mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục - Toán lớp 11

Tags:

Đánh giá & nhận xét