Công thức, cách tính Đạo hàm theo định nghĩa và các lỗi sai thường gặp (Toán 11)

Trong bài viết này,chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết về khái niệm đạo hàm,quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa và mối liên hệ mật thiết giữa đạo hàm với tính liên tục của hàm số.Đồng thời, HayHocHoi sẽ hướng dẫn các em vận dụng lý thuyết vào giải quyết các dạng bài tập điển hình như:viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm,viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc$k$.

I. Tóm tắt lý thuyết về đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa:Cho hàm số$y = f(x)$xác định trên khoảng$(a;b)$và$x_0 \in (a;b)$.Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn):

thì giới hạn đó được gọi làđạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$,ký hiệu là$f'(x_0)$(hoặc$y'(x_0)$).Tức là:

• Chú ý:

  • Đại lượng$\Delta x = x - x_0$được gọi làsố gia của đối sốtại$x_0$.

  • Đại lượng$\Delta y = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$được gọi làsố gia tương ứng của hàm số.Khi đó:

    $$y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• Hàm số$y = f(x)$được gọi là có đạo hàm trên một khoảng nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

2. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

• Định lý:Nếu hàm số$y = f(x)$có đạo hàm tại điểm$x_0$thì nóliên tụctại điểm$x_0$.

• Lưu ý:Điều ngược lại không chắc chắn đúng (Hàm số liên tục tại một điểm chưa chắc đã có đạo hàm tại điểm đó).

3. Công thức và cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa,các em thực hiện theo 3 bước sau:

• Bước 1:Giả sử$\Delta x$là số gia của đối số tại$x_0$.Tính số gia của hàm số: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

• Bước 2:Lập tỉ số$\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

• Bước 3:Tìm giới hạn$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

II. Các dạng bài tập tính đạo hàm theo định nghĩa

Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa

Phương pháp:Thực hiện tuần tự 3 bước như phần lý thuyết.Nếu bài toán yêu cầu tính đạo hàm tại điểm$x$bất kỳ,ta thay$x_0$bằng$x$.

Ví dụ:Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số tại các điểm đã chỉ ra:a)$y = x^2 + x$tại$x_0 = 1$b)$y = \frac{1}{x}$tại$x_0 = 2$c)$y = \frac{x+1}{x-1}$tại$x_0 = 0$

Lời giải: 

a)Tính đạo hàm của$y = x^2 + x$tại$x_0 = 1$:

• Gọi$\Delta x$là số gia của đối số tại$x_0 = 1$.

• Ta có: $\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) = [(1 + \Delta x)^2 + (1 + \Delta x)] - (1^2 + 1) = 1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 + \Delta x - 2 = (\Delta x)^2 + 3\Delta x = \Delta x(\Delta x + 3)$.

• Lập tỉ số: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \Delta x + 3$.

• Tính giới hạn: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 3) = 3$.

• Kết luận: $f'(1) = 3$.

b)Tính đạo hàm của$y = \frac{1}{x}$tại$x_0 = 2$:

• Gọi$\Delta x$là số gia của đối số tại$x_0 = 2$.

• Ta có: $\Delta y = f(2 + \Delta x) - f(2) = \frac{1}{2 + \Delta x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - (2 + \Delta x)}{2(2 + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{2(2 + \Delta x)}$.

• Lập tỉ số: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-1}{2(2 + \Delta x)}$.

• Tính giới hạn: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{2(2 + \Delta x)} = -\frac{1}{4}$.

• Kết luận: $f'(2) = -\frac{1}{4}$.

c)Tính đạo hàm của$y = \frac{x+1}{x-1}$tại$x_0 = 0$:

• Gọi$\Delta x$là số gia của đối số tại$x_0 = 0$.

• Ta có: $\Delta y = f(0 + \Delta x) - f(0) = \frac{\Delta x + 1}{\Delta x - 1} - \frac{0+1}{0-1} = \frac{\Delta x + 1}{\Delta x - 1} + 1 = \frac{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}{\Delta x - 1} = \frac{2\Delta x}{\Delta x - 1}$.

• Lập tỉ số: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{\Delta x - 1}$.

• Tính giới hạn: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2}{\Delta x - 1} = \frac{2}{-1} = -2$.

• Kết luận: $f'(0) = -2$.

Dạng 2: Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Phương pháp:1.Hàm số có đạo hàm tại điểm$x_0$thì chắc chắn liên tục tại điểm đó.2.Để chứng minh hàm sốkhông có đạo hàmtại điểm$x_0$,ta có thể chọn 1 trong 2 cách:

• Chứng minh hàm sốkhông liên tụctại$x_0$.

• Hoặc chứng minh$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$không tồn tại (chẳng hạn giới hạn trái khác giới hạn phải).

Ví dụ 1:Chứng minh rằng hàm số$f(x) = \begin{cases} (x-1)^2 & \text{khi } x \ge 0 \\ -x^2 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$không có đạo hàm tại$x = 0$nhưng có đạo hàm tại$x = 2$.

Lời giải:

• Xét tại $x = 0$:

  • Giới hạn phải: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x-1)^2 = (0-1)^2 = 1$.

  • Giới hạn trái: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2) = 0$.

  • Vì$\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$nên hàm số gián đoạn tại$x = 0$.Suy ra hàm sốkhông có đạo hàmtại$x = 0$.

• Xét tại $x = 2$:

  • Tại$x = 2 > 0$,ta sử dụng biểu thức$f(x) = (x-1)^2$.

  • $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)^2 - 1}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} x = 2$.

  • Vậy hàm sốcó đạo hàmtại$x = 2$và$f'(2) = 2$.

Ví dụ 2:Cho hàm số$f(x) = \begin{cases} (x-1)^2 & \text{khi } x \ge 0 \\ (x+1)^2 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$.Chứng minh rằng hàm số liên tục tại$x = 0$nhưng không có đạo hàm tại$x = 0$.

Lời giải:

• Chứng minh liên tục tại $x = 0$:

  • $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x-1)^2 = 1 = f(0)$.

  • $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1)^2 = 1 = f(0)$.

  • Vì$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$nên hàm số liên tục tại$x = 0$.

• Chứng minh không có đạo hàm tại $x = 0$:

  • Giới hạn đạo hàm phải: $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(\Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(\Delta x - 1)^2 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} (\Delta x - 2) = -2$.

  • Giới hạn đạo hàm trái: $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(\Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(\Delta x + 1)^2 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (\Delta x + 2) = 2$.

  • Vì hai giới hạn này khác nhau nên không tồn tại giới hạn$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - f(0)}{\Delta x}$.Vậy hàm số không có đạo hàm tại$x = 0$.

Ví dụ 3:Cho hàm số$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx & \text{khi } x \ge 1 \\ 2x - 1 & \text{khi } x < 1 \end{cases}$.Tìm$a, b$để hàm số có đạo hàm tại$x = 1$.

Lời giải:

• Để hàm số có đạo hàm tại$x = 1$,trước tiên hàm số phảiliên tụctại$x = 1$.

  • $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax^2 + bx) = a + b = f(1)$.

  • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 1$.

  • $\Rightarrow a + b = 1$(*).

• Mặt khác,giới hạn đạo hàm hai bên tại$x=1$phải bằng nhau:

  • Đạo hàm phải: $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{ax^2 + bx - (a+b)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{a(x^2 - 1) + b(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} [a(x+1) + b] = 2a + b$.

  • Đạo hàm trái: $\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x - 1 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2(x - 1)}{x - 1} = 2$.

  • $\Rightarrow 2a + b = 2$().

• Từ (*) và (),ta có hệ phương trình: $\begin{cases} a + b = 1 \\ 2a + b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}$.

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm $M_0(x_0; y_0)$

Phương pháp:

1. Tính$f'(x_0)$bằng định nghĩa hoặc dùng công thức đạo hàm.

2. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị$(C)$tại$M_0$là$k = f'(x_0)$.

3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị$(C)$tại điểm$M_0(x_0; y_0)$là:

   $$y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$$

Ví dụ 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong$y = x^3$:a) Tại điểm$(-1; -1)$b) Tại điểm có hoành độ bằng$2$

Lời giải:

• Tính đạo hàm: $y' = f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{x^3 - x_0^3}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} (x^2 + xx_0 + x_0^2) = 3x_0^2$.

• a)Tại điểm$(-1; -1)$: $x_0 = -1 \Rightarrow f'(-1) = 3(-1)^2 = 3$.Phương trình tiếp tuyến là: $y = 3(x + 1) - 1 \Leftrightarrow y = 3x + 2$.

• b)Tại điểm có hoành độ$x_0 = 2$: $y_0 = f(2) = 2^3 = 8$.Hệ số góc$f'(2) = 3(2)^2 = 12$.Phương trình tiếp tuyến là: $y = 12(x - 2) + 8 \Leftrightarrow y = 12x - 16$.

Ví dụ 2:Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol$y = \frac{1}{x}$: a) Tại điểm $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$ b) Tại điểm có hoành độ bằng $-1$

Lời giải:

• Tính đạo hàm: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{x_0 - x}{x \cdot x_0}}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{-1}{x \cdot x_0} = -\frac{1}{x_0^2}$.

• a) Tại điểm $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$: $f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(1/2)^2} = -4$. Phương trình tiếp tuyến: $y = -4\left(x - \frac{1}{2}\right) + 2 \Leftrightarrow y = -4x + 4$.

• b) Tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$: $y_0 = \frac{1}{-1} = -1$. Hệ số góc $f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -1$. Phương trình tiếp tuyến: $y = -1(x + 1) - 1 \Leftrightarrow y = -x - 2$.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc $k$

Phương pháp:

1. Gọi tiếp điểm là $M_0(x_0; y_0)$. Tính $f'(x_0)$.

2. Giải phương trình $f'(x_0) = k$ để tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$.

3. Thay $x_0$ vào hàm số ban đầu để tìm tung độ $y_0 = f(x_0)$.

4. Viết phương trình tiếp tuyến: $y = k(x - x_0) + y_0$.

• Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = ax + b$ thì có hệ số góc $k = a$. Nếu vuông góc thì hệ số góc $k \cdot a = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{a}$.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^3$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $3$.

Lời giải:

• Ta có phương trình hệ số góc: $f'(x_0) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow x_0^2 = 1 \Leftrightarrow x_0 = \pm 1$.

• Với $x_0 = 1 \Rightarrow y_0 = 1^3 = 1$. Phương trình tiếp tuyến: $y = 3(x - 1) + 1 \Leftrightarrow y = 3x - 2$.

• Với $x_0 = -1 \Rightarrow y_0 = (-1)^3 = -1$. Phương trình tiếp tuyến: $y = 3(x + 1) - 1 \Leftrightarrow y = 3x + 2$.

• Kết luận: Có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là $y = 3x - 2$ và $y = 3x + 2$.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y = \frac{1}{x}$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-\frac{1}{4}$.

Lời giải:

• Ta có phương trình: $f'(x_0) = -\frac{1}{4} \Leftrightarrow -\frac{1}{x_0^2} = -\frac{1}{4} \Leftrightarrow x_0^2 = 4 \Leftrightarrow x_0 = \pm 2$.

• Với $x_0 = 2 \Rightarrow y_0 = \frac{1}{2}$. Phương trình tiếp tuyến: $y = -\frac{1}{4}(x - 2) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = -\frac{1}{4}x + 1$.

• Với $x_0 = -2 \Rightarrow y_0 = -\frac{1}{2}$. Phương trình tiếp tuyến: $y = -\frac{1}{4}(x + 2) - \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = -\frac{1}{4}x - 1$.

• Kết luận: Có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là $y = -\frac{1}{4}x + 1$ và $y = -\frac{1}{4}x - 1$.

III. Những lỗi sai thường gặp khi giải toán đạo hàm và tính liên tục

Trong quá trình làm bài kiểm tra, các em học sinh rất hay mất điểm oan ở những "cú lừa" mang tính lý thuyết. Dưới đây là những lỗi sai kinh điển các em cần đặc biệt lưu ý:

1. Ngộ nhận "Hàm số liên tục thì chắc chắn có đạo hàm"

• Bản chất: Định lý chỉ phát biểu một chiều: "Nếu hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì nó liên tục tại $x_0$". Ở chiều ngược lại, một hàm số liên tục tại một điểm vẫn có thể KHÔNG có đạo hàm tại điểm đó (thường là tại các vị trí đồ thị bị gãy khúc).

• Ví dụ kinh điển: Hàm số $y = |x|$ rất liền mạch, không bị đứt đoạn và liên tục tại $x = 0$. Tuy nhiên, đạo hàm trái tại $0$ bằng $-1$, đạo hàm phải tại $0$ bằng $1$. Vì giới hạn hai bên khác nhau nên hàm số này hoàn toàn không có đạo hàm tại $x = 0$.

2. Quên xét tính liên tục trước khi xét đạo hàm

• Lỗi sai: Khi gặp bài toán "Tìm tham số $m$ để hàm số cho bởi nhiều công thức có đạo hàm tại điểm nối $x_0$", nhiều bạn nhảy ngay vào tính giới hạn đạo hàm hai bên rồi cho chúng bằng nhau để tìm $m$.

• Khắc phục: Các em đã bỏ qua một bước tối quan trọng! Hàm số muốn có đạo hàm thì bắt buộc phải liên tục trước đã. Do đó, phải làm đủ 2 bước:

  1. Ép liên tục: Cho giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị hàm số tại $x_0$ ($\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$).

  2. Ép đạo hàm trái bằng đạo hàm phải.

     (Giống hệt cách giải ở Ví dụ 3 - Dạng 2).

3. Nhầm lẫn khi lập biểu thức tính số gia $\Delta y$

• Lỗi sai: Theo định nghĩa, $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Nhưng nhiều bạn do vội vàng nên lại viết nhầm thành $\Delta y = f(\Delta x) - f(x_0)$ hoặc khai triển sai các hằng đẳng thức chứa $\Delta x$.

• Khắc phục: Hãy coi cụm $(x_0 + \Delta x)$ như một biến số mới. Chỗ nào có chữ $x$ trong hàm số ban đầu, ta bế nguyên cụm $(x_0 + \Delta x)$ thế vào đó rồi mới bắt đầu khai triển từ từ.

4. Chỉ tính giới hạn một bên đối với hàm trị tuyệt đối hoặc hàm chia khoảng

• Lỗi sai: Khi dùng định nghĩa để tính đạo hàm $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ cho hàm trị tuyệt đối, nhiều em chỉ tính chung chung mà không chia trường hợp $\Delta x \to 0^+$ và $\Delta x \to 0^-$.

• Khắc phục: Bất cứ khi nào dấu của biểu thức thay đổi khi qua điểm $x_0$, các em bắt buộc phải tính riêng giới hạn đạo hàm bên trái và giới hạn đạo hàm bên phải. Chỉ khi hai kết quả này giống hệt nhau, ta mới được quyền kết luận đạo hàm tồn tại.