Giải bài 3 trang 77 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀, thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại x₀". Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng (gián tiếp). Giả sử hàm tổng $y = h(x) = f(x) + g(x)$ là liên tục tại $x_0$.

1. Thiết lập giả thiết:

   • $f(x)$ liên tục tại $x_0$: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

   • $h(x) = f(x) + g(x)$ liên tục tại $x_0$ (giả sử phản chứng): $\lim_{x \to x_0} h(x) = h(x_0)$.

2. Rút gọn: Biểu diễn hàm $g(x)$ theo $f(x)$ và $h(x)$: $g(x) = h(x) - f(x)$.

3. Kiểm tra giới hạn của $g(x)$: Nếu $\lim_{x \to x_0} g(x)$ tồn tại, nó sẽ mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là $g(x)$ không liên tục tại $x_0$.

Lời giải chi tiết:

Ý kiến của bạn Nam là ĐÚNG vì:

Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀ nên: 

Hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀ nên:

Nên

Vì vậy hàm số không liên tục tại x₀.