Giải bài 7 trang 80 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₂B₂C₂, ..., Tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, ... Gọi p₁, p₂, ..., p_n, ... và S₁, S₂, ..., S_n, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, ..., A_nB_nC_n, ...

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

b) Tính các tổng p₁ + p₂ + ... + p_n + ... và S₁ + S₂ + ... + S_n + ... .

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Lưu ý: Tam giác $A_1B_1C_1$ được tạo thành từ trung điểm các cạnh của $\triangle ABC$. Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, cạnh của $\triangle A_1B_1C_1$ bằng $\frac{1}{2}$ cạnh của $\triangle ABC$.

Gọi $a_n$ là độ dài cạnh của tam giác $A_nB_nC_n$.

• $a_n = \frac{1}{2} a_{n-1} = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

1. Chu vi ($p_n$) và Diện tích ($S_n$):

• Chu vi: $p_n = 3a_n$.

• Diện tích: $S_n = S_{n-1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = S_{n-1} \cdot \frac{1}{4}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Tìm giới hạn của dãy số (p_n) và (S_n).

• (p_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Ta có: p₁ = p_∆ABC = a + a + a = 3a;

...

Suy ra:

• (S_n) là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A₁B₁C₁, ...

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và 

Ta có: 

...

Suy ra:

b) Tính các tổng

• Ta có (p_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = 3a và công bội q = 1/2 thỏa mãn |q| < 1 có tổng:

• Ta cũng có (S_n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S₁ = (1/2).ah và công bội q = 1/4 thỏa mãn |q| < 1 có tổng: