Giải bài 6 trang 80 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại này lên độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi S_n là tổng quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả vật bạn đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limS_n.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Gọi $h_0 = 55,8 \text{ m}$ là độ cao ban đầu.

Quãng đường di chuyển của quả bóng bao gồm:

1. Quãng đường rơi đầu tiên: $h_0$. (Đây là quãng đường tính đến lần chạm đất thứ nhất).

2. Các quãng đường nảy lên và rơi xuống sau đó: Mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên rồi lại rơi xuống, tạo thành một chu kỳ dao động (quãng đường đi được gấp đôi độ cao đạt được).

Quãng đường $S_n$ tính đến lần chạm đất thứ $n$ là:

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính $\mathbf{\lim S_n}$, là tổng quãng đường di chuyển từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng dừng lại (chạm đất vô hạn lần).

Quãng đường di chuyển tổng cộng ($S$) là:

Trong đó $h_n$ là độ cao đạt được sau lần chạm đất thứ $n$ (chu kỳ nảy lên/rơi xuống).

• $h_0 = 55,8$

• $h_1 = h_0 \cdot \frac{1}{10}$

• $h_2 = h_1 \cdot \frac{1}{10} = h_0 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2$

• $\dots$

• $h_n = h_0 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^n$

Ta tính tổng $S$ bằng cách tách $h_0$ và tổng cấp số nhân lùi vô hạn còn lại.

Lời giải chi tiết:

Tổng quãng đường di chuyển của quả bóng (khi $n \to \infty$) là $S$:

Dãy số $\left(h_n\right)$ (các độ cao nảy lên, bắt đầu từ $h_1$) là một cấp số nhân lùi vô hạn có:

• Số hạng đầu: $h_1 = 55,8 \cdot \frac{1}{10} = 5,58$

• Công bội: $q = \frac{1}{10}$

2. Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng vô hạn của dãy độ cao nảy lên là $S' = h_1 + h_2 + h_3 + \dots$

Áp dụng công thức $S' = \frac{h_1}{1 - q}$:

3. Tính tổng quãng đường di chuyển $\lim S_n$

Tổng quãng đường di chuyển của quả bóng là: