Hotline 0936685849

Giải bài 5 trang 79 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

13:40:3425/08/2023

Bài toán này yêu cầu chúng ta xét tính liên tục của hàm số $\mathbf{f(x)}$ được cho dưới dạng từng phần tại điểm nối $\mathbf{x=2}$ . Hàm số liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ . Ta sẽ tìm điều kiện của tham số $a$ và $b$ để đảm bảo sự liên tục.

Đề bài:

Cho hàm số $\small f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x+a\: \: khi\: \: x<2\\ 4\: \: khi\: \: x=2\\ -3x+b\: \: khi\: \: x>2 \end{matrix}\right.$

a) Với a = 0, b = 1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.

b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại x = 2?

c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Hàm số $f(x)$ đã xác định giá trị $f(2)=4$ . Để hàm số liên tục tại $x=2$ , ta cần tính và so sánh giới hạn bên trái, giới hạn bên phải và giá trị hàm số tại $x=2$ .

Giá trị hàm số tại $x=2$ : $f(2) = 4$ .
Giới hạn bên trái ( $x \to 2^-$ ): Sử dụng công thức cho $x < 2$ , $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x + a)$ .
Giới hạn bên phải ( $x \to 2^+$ ): Sử dụng công thức cho $x > 2$ , $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-3x + b)$ .

Hàm số liên tục trên tập xác định $\mathbb{R}$ nếu nó liên tục trên khoảng $(-\infty, 2)$ , $(2, +\infty)$ và tại điểm nối $x=2$ .

Lời giải chi tiết:

a) Với a = 0, b = 1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.

Với a = 0, b = 1 hàm số $\small f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x\: \: khi\: \: x<2\\ 4\: \: khi\: \: x=2\\ -3x+1\: \: khi\: \: x>2 \end{matrix}\right.$

Với x < 2 thì f(x) = 2x là hàm liên tục.

Với x > 2 thì f(x) = – 3x + 1 là hàm liên tục.

Tại x = 2 ta có:

$\small \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}2x=4$

$\small \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}(-3x+1)=-5$

$\small \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)$

Vì vậy, không tồn tại $\small \lim_{x\rightarrow 2}f(x)$

Vậy hàm số tiên tục trên (–∞; 2) và (2; +∞).

b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại x = 2?

$\small \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}(2x+a)=4+a$

$\small \lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}(-3x+b)=-6+b$

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì:

$\small \lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=f(2)$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4+a=4\\ -6+b=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=10 \end{matrix}\right.$

Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.

c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Tập xác định của hàm số là: ℝ.

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = 2.

Vì vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.

Để hàm số $\mathbf{f(x)}$ liên tục tại $\mathbf{x=2}$ , ta cần $\mathbf{\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)}$ .

Câu a): Với $a=0, b=1$ , $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4$ và $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -5$ . Vì $4 \neq -5$ , hàm số không liên tục.
Câu b, c): Hàm số liên tục tại $\mathbf{x=2}$ (và trên $\mathbb{R}$ ) khi $\mathbf{4+a = -6+b = 4}$ , suy ra $\mathbf{a=0}$ và $\mathbf{b=10}$ .