Giải bài 3 trang 94 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Thiết lập giao điểm: Đặt giao điểm của các cặp đường thẳng là $I, J, K$.

   • $a \cap b = I$

   • $a \cap c = J$

   • $b \cap c = K$

2. Giả sử phản chứng: Giả sử ba điểm $I, J, K$ là phân biệt.

3. Mô hình hóa: Khi $I, J, K$ phân biệt, các đường thẳng $a, b, c$ sẽ tạo thành các giao tuyến của ba mặt phẳng khác nhau ($\alpha = (a, b)$, $\beta = (a, c)$, $\gamma = (b, c)$).

4. Kết luận mâu thuẫn: Chứng minh rằng nếu $I, J, K$ phân biệt, ba đường thẳng $a, b, c$ phải cùng nằm trong một mặt phẳng, điều này mâu thuẫn với giả thiết đề bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Giả sử:

 a ∩ b là điểm I và α = mp(a, b);

 a ∩ c là điểm J và β = mp(a, c);

 b ∩ c là điểm K và γ = mp(b, c)

Với các điểm I, J, K phân biệt.

Khi đó:

 α ∩ β = a và đường thẳng a chính là đường thẳng IJ.

 α ∩ γ = b và đường thẳng b chính là đường thẳng IK.

 β ∩ γ = c và đường thẳng c chính là đường thẳng JK.

Mà chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm I, J, K, đó là (IJK)

⇒ a, b, c cùng thuộc mặt phẳng (IJK), điều này trái với giả thiết a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng.

⇒ I, J, K phải trùng nhau hay a, b, c đồng quy.