Giải bài 8 trang 121 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho: 

a) Chứng minh rằng C’M // (A’BM’).

b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’).

c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’).

d) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính 

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán này xoay quanh hình lăng trụ tam giác và các mối quan hệ song song. Để giải, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:

• Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

• Tính chất đường trung bình trong tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó.

• Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó thuộc mặt phẳng đó, thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng.

• Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng kia, thì hai mặt phẳng đó song song.

• Định lí Thales trong không gian: Ba mặt phẳng song song cắt hai cát tuyến bất kì, các đoạn thẳng tương ứng trên hai cát tuyến đó tỉ lệ với nhau.

Áp dụng các định lí này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng C’M // (A’BM’)

Ta có hình minh họa như sau:

Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên:

BM = C’M’ = BC/2 = B’C’/2

Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành

Vì vậy C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’)

⇒ C’M // (A’BM’).

b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’)

Ta có hình minh họa như sau:

Trong mp(A’BM’), xét ΔA’BM’ có:  nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà M’B ⊂ (BCC’B’) ⇒ G’K // (BCC’B’).

c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’)

Ta có hình minh họa như sau:

Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM = BC/2 = B’C’/2

Nên tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.

Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.

Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.

Lại có:  nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.

Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.

Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M

Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).

Ta có: G’K // (BCC’B’);

 G’G // (BCC’B’);

 G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

⇒ (GG’K) // ((BCC’B’).

d) Tính IC/IC'

Ta có hình minh họa như sau:

Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);

  JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).

Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt (α) tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có:

Theo bài ra,  nên 

Vì vậy: