Giải bài 2 trang 113 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Đường thẳng và mặt phẳng

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D’ và

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;

c) MN // (ACD’);

d) (MNP) // (ACD’).

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức sau:

• Đường trung bình của tam giác: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại.

• Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

• Điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$, thì $a//(P)$.

• Điều kiện hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng $(Q)$, thì $(P)//(Q)$.

Lời giải chi tiết bài 2 trang 113 Toán 11:

a) NQ // A’D’ và NQ = A'D'/2

Ta có hình minh hoạ như sau:

Trong mp(ADD’A’), xét DAA’D’ có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’

Do đó NQ là đường trung bình của tam giác

⇒ NQ // A’D’ và NQ = A’D’/2

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành

Ta có hình minh hoạ như sau:

Ta có: A’D’ // AD // BC, mà NQ // A’D’ (câu a) nên NQ // BC hay NQ // MC.

Ta cũng có A’D’ = AD = BC, mà NQ = A’D’/2 (câu a) nên NQ = BC/2

Lại có BM = MC = BC/2 (do M là trung điểm BC)

⇒ NQ = MC.

Tứ giác MNQC có NQ // MC và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.

c) MN // (ACD’)

Ta có hình minh hoạ như sau:

Do MNQC hình bình hành nên MN // QC

Mà QC ⊂ (ACD’) nên MN // (ACD’).

d) (MNP) // (ACD’)

Ta có hình minh hoạ như sau:

Gọi O là trung điểm của ABCD.

Trong (ABCD), xét DABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác

Do đó OM // AB và OM = AB/2.

Mà AB // D’P nên OM // D’P.

Lại có D’P = D’C’/2 và D’C’ = AB nên OM = D’P.

Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên là hình bình hành

⇒ PM // D’O

Mà D’O ⊂ (ACD’) nên PM // (ACD’).

Ta có: MN // (ACD’);

 PM // (ACD’);

 MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)

⇒  (MNP) // (ACD’).