Giải bài 4 trang 100 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng đường thẳng G₁G₂ song song với đường thẳng CD.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Thiết lập trung tuyến chung: Gọi $M$ là trung điểm của cạnh chung $AB$ (hoặc $BC, BD$). Do $G_1, G_2$ là trọng tâm, chúng nằm trên các đường trung tuyến. Để thiết lập mối liên hệ giữa $G_1G_2$ và $CD$, ta cần chọn một đường trung tuyến phụ thuộc vào $CD$.

2. Chọn trung tuyến: Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là trung điểm của $BD$. Khi đó, $AM$ và $AN$ là các trung tuyến của $\triangle ABC$ và $\triangle ABD$ (Lưu ý: Lời giải mẫu có thể nhầm lẫn vị trí của $M, N$. Ta sẽ sửa lại để $M, N$ là trung điểm của $AC, AD$ hoặc $BC, BD$ để tạo ra đường trung bình $MN$ song song với $CD$).

   • Cách tối ưu: Gọi $I$ là trung điểm $CD$. $\mathbf{AI}$ là trung tuyến $\triangle ACD$, $\mathbf{BI}$ là trung tuyến $\triangle BCD$. $\rightarrow$ Cách này không hiệu quả vì $G_1, G_2$ không nằm trên $AI, BI$.

   • Cách dùng đường trung bình: Gọi $I$ là trung điểm $AC$ và $J$ là trung điểm $AD$. Khi đó $I$ và $J$ là các điểm trên trung tuyến đi qua $B$. $\rightarrow$ Cách này cũng không hiệu quả.

Ta dùng cách đơn giản nhất: Chọn trung điểm của cạnh chung.

Gọi $A$ là đỉnh chung. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $BD$.

• $AM$ là trung tuyến $\triangle ABC$. $G_1 \in AM$ và $\frac{AG_1}{AM} = \frac{2}{3}$ hay $\frac{MG_1}{MA} = \frac{1}{3}$.

• $AN$ là trung tuyến $\triangle ABD$. $G_2 \in AN$ và $\frac{AG_2}{AN} = \frac{2}{3}$ hay $\frac{NG_2}{NA} = \frac{1}{3}$.

3. Áp dụng định lí Thalès đảo: Xét $\triangle AMN$.

4. Sử dụng đường trung bình: Xét $\triangle BCD$ có $M, N$ là trung điểm $BC, BD$. Khi đó $MN // CD$.

5. Kết luận: $G_1G_2 // MN$ và $MN // CD$, suy ra $G_1G_2 // CD$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa như sau:

• Trong mặt phẳng ABC, kẻ đường trung tuyến AM (M ∈ BC).

Vì G₁ là trọng tâm của ΔABC nên: 

• Trong mặt phẳng ABD, kẻ đường trung tuyến AN (N ∈ BD).

Vì G₂ là trọng tâm của ΔABD nên:

• Xét ΔAMN, có:

 nên G₁G₂ // MN (định lí Thales đảo).

• Xét ΔBCD, có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD.

⇒ MN // CD 

⇒ G₁G₂ // MN (chứng minh trên)

⇒ G₁G₂ // CD (đpcm).