Giải bài 6 trang 100 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SM, SN, SP, SQ.

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng IK // BC.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Phần a: Sử dụng tính chất đường trung bình trong các tam giác $\triangle SMN$ và $\triangle SQP$ để chứng minh $IJ // LK$ và $IJ = LK$. Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành, suy ra 4 điểm đồng phẳng.

2. Phần b: Chứng minh $IK$ song song với một đường thẳng trung gian ($MP$) mà $MP$ lại song song với $BC$ (do $M, P$ là trung điểm của các cạnh đối $AB, CD$ trong hình bình hành).

3. Phần c: Giao tuyến của $(IJKL)$ và $(SBC)$ sẽ đi qua điểm chung $J$ và song song với một đường thẳng chung ($IK$ và $BC$).

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng

Ta có hình minh hoạ như sau:

• Xét ΔSMN, có: IJ // MN (tính chất đường trung bình) và IJ = MN/2.

• Xét ΔSQP, có: LK // QP (tính chất đường trung bình) và LK = PQ/2.

Mà QP // AC // MN (tính chất đường trung bình) và PQ = MN = AC/2

⇒ IJ // LK  và IJ = LK

Vậy qua hai đường thẳng song song ta xác định được duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song đó hay I, J, K, L đồng phẳng.

• Xét tứ giác IJKL có:

IJ // LK và IJ = LK nên IJKL là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng IK // BC.

Trong ΔSMP có: IK // MP (tính chất đường trung bình tam giác SMP)

Mà MP // AD // BC (tính chất đường trung bình của hình thang)

⇒ IK // BC.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC).

Ta có: J ∈ SN mà SN ⊂ (SBC) nên J ∈ (SBC)

Lại có J ∈ (IJKL)

Nên J là giao điểm của (IJKL) và (SBC).

Mặt khác: IK // BC (chứng minh trên);

IK ⊂ (IJKL);

BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC) là đường thẳng đi qua J song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại B’ và C’.

Vậy (IJKL) ∩ (SBC) = B’C’.