Giải bài 5 trang 65 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

Gọi u_n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n).

b) Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10^{– 6} g.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Thiết lập Cấp số nhân: Khối lượng ban đầu $P_0 = 1 \text{ kg}$. Sau mỗi chu kỳ, khối lượng giảm đi một nửa, tức là nhân với $\frac{1}{2}$.

2. Lưu ý đơn vị: $P_0 = 1 \text{ kg} = 1\ 000 \text{ g}$. Khối lượng $u_n$ phải được tính bằng $\text{gam (g)}$ để so sánh với $10^{-6} \text{ g}$.

3. Công thức $u_n$: $u_n$ là khối lượng còn lại sau $n$ chu kỳ.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n).

Ta có: Sau 1 chu kì bán rã: u₁ = 1/2 

Sau 2 chu kì bán rã: u₂ = (1/2)²;...

Như vậy, (u_n­) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1/2 và q = 1/2 có số hạng tổng quát là:

b) Ta có:

c) Đổi

Để chất phóng xạ bé hơn 10^-6 (g) thì:

Vậy sau 30 chu kì tương ứng với 30.24000 = 720 000 năm, khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người