Giải bài 4 trang 77 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) f(x) = x² + sinx;

b) 

c)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để đánh giá ý kiến của bạn Nam, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa và các định lý về hàm số liên tục.

• Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm x₀​ khi và chỉ khi:

  1. Hàm số xác định tại x₀​ (tức là f(x_0​) tồn tại).

  2. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến về x0​ tồn tại (lim_x→x0​​f(x) tồn tại).

  3. Giới hạn đó bằng giá trị của hàm số tại x0​ (lim_x→x0​​f(x)=f(x₀​)).

• Các định lý về hàm số liên tục:

  • Nếu $y=f(x)$ và $y=g(x)$ đều liên tục tại x_0​, thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng liên tục tại x_0​.

  • Vấn đề đặt ra là khi một hàm số liên tục, còn hàm số kia không liên tục.

Để chứng minh một hàm số không liên tục, ta có thể chứng minh một trong các điều kiện trên bị vi phạm.

Lời giải chi tiết:

a) f(x) = x² + sinx

Hàm số f(x) có tập xác định là ℝ.

Hàm số x² và sinx liên tục trên ℝ

⇒ Hàm số f(x) = x² + sinx liên tục trên ℝ.

b) 

Hàm g(x) có tập xác định là ℝ\{1}.

Hàm số x⁴ – x² liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số  liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

⇒ Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

c) 

Hàm số h(x) có tập xác định D = ℝ\{–4; 3}.

Hàm số  liên tục trên các khoảng (–∞; 3) và (3; +∞).

Hàm số  liên tục trên các khoảng (–∞; –4) và (–4; +∞).

⇒ Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (–∞; –4); (–4; 3) và (–4; +∞).