Giải bài 5 trang 77 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho hàm số

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, bạn cần nắm vững định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm.

Một hàm số y= f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ khi và chỉ khi:

1. Tồn tại : Hàm số phải xác định tại .

2. Tồn tại giới hạn: Giới hạn của hàm số khi x tiến đến x₀ phải tồn tại, tức là tồn tại.

3. Giá trị bằng nhau: Giá trị của hàm số tại x₀ phải bằng giới hạn của hàm số tại đó: .

Để xét tính liên tục của hàm số  tại điểm , bạn cần tính  và , sau đó so sánh chúng.

Lời giải chi tiết:

a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:

Có f(4) = 2a + 1 = 2.0 + 1 = 1

Vì vậy hàm số KHÔNG liên tục tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

Ta có:

Và f(4) = 2a + 1

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì:

⇔ 21 = 2a + 1

⇔ 2a = 20

⇔ a = 10

Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Với x ≠ 4 hàm số f(x) = x² + x + 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng (–∞; 4) và (4; +∞)

Tại x = 4 thì hàm số liên tục nếu a = 10.

⇒ Với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.