Giải bài 3 trang 65 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n­), với u₁ = 2/3, q = -1/4

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (CSNLVH): CSNLVH tồn tại khi công bội $|q| < 1$. Tổng $S$ được tính bằng công thức:

   $$S = \frac{u_1}{1 - q}$$

2. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn: Tách phần nguyên và phần thập phân. Phần thập phân vô hạn tuần hoàn được biểu diễn dưới dạng tổng của một CSNLVH.

Lời giải chi tiết:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n), với u₁=2/3, q=-1/4 là:

b) Biểu diễn 1,(6) dưới dạng phân số

Ta có:

1,(6) = 1 + 0,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ...

Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 0,6 và công bội q = 1/10; có |q| < 1 nên ta có:

0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ... 

Suy ra: