Giải bài 6 trang 65 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính AB/2.

C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB/4, ...

C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính AB/2ⁿ , ...(Hình 4).

Gọi P_n là độ dài của C_n­, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Công thức cơ bản:

• Độ dài nửa đường tròn đường kính $D$: $L = \frac{1}{2} \cdot \pi D$.

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính $D$ và đoạn thẳng: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi D^2}{8}$.

2. Xác định $P_n$: $P_n$ là tổng độ dài của $2^n$ nửa đường tròn có đường kính $D_n = \frac{AB}{2^n} = \frac{2R}{2^n}$.

3. Xác định $S_n$: $S_n$ là tổng diện tích của $2^n$ nửa hình tròn có đường kính $D_n$.

Lời giải chi tiết:

a) Tính p_n, S_n.

• Ta có: ; ; ;...

(p_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội  có số hạng tổng quát là:

•  Ta có: ; ; ; ...

(C_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội  có số hạng tổng quát là:

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Ta có: