Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác và bài tập mẹo giải tránh sai Toán 11

Vậy cách xét tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác ở chương trình Toán 11 có gì khác biệt so với lớp 10? Hãy cùng HayHocHoi tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây nhé!

I. Phương pháp chung xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Về bản chất, chúng ta vẫn dựa vào định nghĩa hàm chẵn, hàm lẻ tương tự như chương trình lớp 10. Để xét tính chẵn lẻ của một hàm số lượng giác $y = f(x)$, các em thực hiện lần lượt theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số

  • Nếu $D$ là tập đối xứng (tức là $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$), ta chuyển qua Bước 2.

  • Nếu $D$ không là tập đối xứng (tức là $\exists x \in D$ mà $-x \notin D$), ta kết luận ngay hàm số không chẵn cũng không lẻ.

• Bước 2: Tính $f(-x)$

  • Thay $x$ bằng $-x$ vào biểu thức của hàm số để tính $f(-x)$.

• Bước 3: So sánh và kết luận

  • Nếu $f(-x) = f(x)$: Kết luận hàm số là hàm chẵn.

  • Nếu $f(-x) = -f(x)$: Kết luận hàm số là hàm lẻ.

  • Các trường hợp còn lại: Kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

II. Tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác cơ bản

Ghi nhớ tính chất của 4 hàm số lượng giác cơ bản dưới đây sẽ giúp các em làm bài tập nhanh chóng hơn:

1. Hàm số $y = \sin x$

• Là hàm số lẻ.

• Có vô số tâm đối xứng: $I_k(k\pi; 0)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

2. Hàm số $y = \cos x$

• Là hàm số chẵn.

• (Lưu ý sửa lỗi thường gặp) Đồ thị hàm số $\cos x$ không có tâm đối xứng nằm trên trục hoành mà có vô số trục đối xứng là các đường thẳng $x = k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

3. Hàm số $y = \tan x$

• Là hàm số lẻ.

• Có vô số tâm đối xứng: $I_k\left(\frac{k\pi}{2}; 0\right)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

4. Hàm số $y = \cot x$

• Là hàm số lẻ.

• Có vô số tâm đối xứng: $I_k\left(\frac{k\pi}{2}; 0\right)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

III. Ví dụ và bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

(Trong các hàm số dưới đây, ta ngầm hiểu $y = f(x)$)

1. Một số ví dụ có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \sin 2x$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = \sin(-2x) = -\sin 2x = -f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = \sin 2x$ là hàm số lẻ.

Ví dụ 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \cos 3x$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = \cos(-3x) = \cos 3x = f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = \cos 3x$ là hàm số chẵn.

Ví dụ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \tan x$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$. Tập $D$ là tập đối xứng (lấy $x \in D$ thì $-x \in D$).

  • Ta có: $f(-x) = \tan(-x) = -\tan x = -f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \tan x + \cot x$

• Lời giải:

  • Hàm số xác định khi $\sin x \neq 0$ và $\cos x \neq 0$, tức là $\sin 2x \neq 0 \Leftrightarrow D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\}$. Tập $D$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = \tan(-x) + \cot(-x) = -\tan x - \cot x = -(\tan x + \cot x) = -f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = \tan x + \cot x$ là hàm số lẻ.

Ví dụ 5: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \sin x + \cos x$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x$.

    Dễ thấy $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = \sin x + \cos x$ không chẵn cũng không lẻ.

Ví dụ 6: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = 2\sin x + 3$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = 2\sin(-x) + 3 = -2\sin x + 3$.

    Dễ thấy $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = 2\sin x + 3$ không chẵn cũng không lẻ.

Ví dụ 7: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \sin^2 2x$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = [\sin(-2x)]^2 = [-\sin 2x]^2 = \sin^2 2x = f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = \sin^2 2x$ là hàm số chẵn.

Ví dụ 8: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \sin x \cdot \cos x$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = (-\sin x) \cdot \cos x = -\sin x \cdot \cos x = -f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = \sin x \cdot \cos x$ là hàm số lẻ.

Ví dụ 9: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = 1 - \cos x$

• Lời giải:

  • Tập xác định $D = \mathbb{R}$ là tập đối xứng.

  • Ta có: $f(-x) = 1 - \cos(-x) = 1 - \cos x = f(x)$.

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số $y = 1 - \cos x$ là hàm số chẵn.

Ví dụ 10: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x}$

• Lời giải:

  • Điều kiện xác định: $\cos x \neq 0$, $\sin x \neq 0$ và $\sin x + \cot x \neq 0$. Tập xác định $D$ thoả mãn tính chất đối xứng (với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$).

  • Ta có:

    $$f(-x) = \frac{\sin(-x) - \tan(-x)}{\sin(-x) + \cot(-x)} = \frac{-\sin x - (-\tan x)}{-\sin x - (-\cot x)}$$
    $$= \frac{-(\sin x - \tan x)}{-(\sin x + \cot x)} = \frac{\sin x - \tan x}{\sin x + \cot x} = f(x)$$

    $\Rightarrow$ Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

2. Bài tập tự luyện

Để rèn luyện kỹ năng, các em hãy tự áp dụng phương pháp trên để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác sau:

a) $y = 5\sin 2x + 2\tan x$

b) $y = \cos 3x + \frac{1}{\sin^3 x}$

c) $y = \sin 5x \cdot \cos 2x$

d) $y = 2\sin 2x + 3\cos x$

e) $y = 3\cos 2x + 2\sin x$

Bài tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác dạng phân thức sau:

a) $f(x) = \frac{2\sin x - 3\tan x}{3 + \cos x}$

b) $f(x) = \frac{|x| \cdot \sin 2x}{\cos 3x}$

Như vậy, qua bài viết trên, các em có thể thấy phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác hoàn toàn dựa vào định nghĩa nền tảng mà chúng ta đã học ở lớp 10. Điểm khác biệt lớn nhất là sự xuất hiện của tính tuần hoàn và các điều kiện xác định đặc trưng của hàm $\sin, \cos, \tan, \cot$. Các em hãy chịu khó làm nhiều bài tập để rèn luyện phản xạ tính toán nhé!

IV. Mẹo giải nhanh và các lỗi sai cần tránh

1. Mẹo nhẩm nhanh tính chẵn lẻ (Cực hữu ích cho trắc nghiệm)

Thay vì làm tự luận dài dòng, nếu bài toán cấu tạo từ các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, các em có thể dùng quy tắc kết hợp cực nhanh sau đây (với điều kiện tập xác định đã đối xứng):

• Quy tắc nhân / chia:

  • Lẻ $\times$ Lẻ = Chẵn (VD: $\sin x \cdot \tan x$ là hàm chẵn)

  • Chẵn $\times$ Chẵn = Chẵn (VD: $x^2 \cdot \cos x$ là hàm chẵn)

  • Lẻ $\times$ Chẵn = Lẻ (VD: $x \cdot \cos x$ là hàm lẻ)

• Quy tắc cộng / trừ:

  • Tổng/hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn.

  • Tổng/hiệu của hai hàm lẻ là hàm lẻ.

  • Tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ $\Rightarrow$ Thường là không chẵn không lẻ.

• Quy tắc lũy thừa:

  • Hàm số lẻ mũ chẵn sẽ biến thành hàm chẵn (VD: $\sin^2 x$ là hàm chẵn).

  • Hàm số lẻ mũ lẻ vẫn là hàm lẻ (VD: $\sin^3 x$ là hàm lẻ).

2. Các lỗi sai học sinh hay mắc phải

• Lỗi 1: Bỏ qua bước kiểm tra tập xác định đối xứng.

  Ví dụ, đề yêu cầu xét tính chẵn lẻ của $y = \cos x$ trên đoạn $[0; 2\pi]$. Nhiều em thấy hàm $\cos$ lập tức kết luận là hàm chẵn. Sai bét! Tập $[0; 2\pi]$ không đối xứng (vì lấy $x = \pi$ thì $-x = -\pi$ không thuộc đoạn này). Do đó hàm số này không chẵn không lẻ.

• Lỗi 2: Nhầm lẫn dấu trừ bên trong góc.

  Hãy luôn nhớ câu thần chú "Cos đối, Sin bù". Nghĩa là chỉ có $\cos(-x) = \cos x$ (dấu trừ biến mất), còn các hàm khác đều phải đẩy dấu trừ ra ngoài: $\sin(-x) = -\sin x$; $\tan(-x) = -\tan x$.

• Lỗi 3: Xử lý sai dấu trừ ở hàm lũy thừa.

  Nhiều bạn biến đổi: $\sin^2(-x) = -\sin^2 x$. Đây là sai lầm cơ bản. Viết đúng phải là: $\sin^2(-x) = [\sin(-x)]^2 = [-\sin x]^2 = \sin^2 x$.

• Lỗi 4: Loại trừ kiểu "Không chẵn thì tức là lẻ".

  Hàm số không giống như con số (không chẵn thì lẻ). Có vô số hàm số trên đời không chẵn cũng không lẻ (như ví dụ $y = \sin x + \cos x$ ở bên dưới).