Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác và bài tập vận dụng - Toán lớp 11

Vậy cách xét tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác ở chương trình toán giải tích lớp 11 có gì khác với cách xác định tính chẵn lẻ của các hàm số ở lớp 10. chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này.

I. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

* Phương pháp chung xét tính chẵn lẻ của hàm số

- Dựa vào định nghĩa hàm chẵn, hàm lẻ tương tự như chúng ta đã biết ở chương trình lớp 10. Chúng ta lần lượt thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

 - Nếu D là tập đối xứng (tức là $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), ta chuyển qua bước 2

 - Nếu D không là tập đối xứng (tức là $\exists x\in D$ mà $-x\notin D$), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

• Bước 2: Thay x bằng -x và tính f(-x),

• Bước 3: Kiểm tra (so sánh) :

   Nếu $f(-x)=f\left(x\right)$ kết luận hàm số là hàm chãn

   Nếu $f(-x)=-f\left(x\right)$ kết luận hàm số là hàm lẻ

   Trường hợp khác kết luận hàm số không chẵn cùng không lẻ

II. Tính chẵn lẻ của các hàm lượng giác cơ bản

1. Hàm số y = sinx

- Là hàm số lẻ

- Có vô số tâm đối xứng: I_k(kπ; 0), k∈Z

2. Hàm số y = cosx

- Là hàm số chẵn

- Có vô số tâm đối xứng: x =kπ; k∈Z

3. Hàm số y = tanx

- Là hàm số lẻ

- Có vô số tâm đối xứng: I_k(kπ/2; 0), k∈Z

4. Hàm số y = cotx

- Là hàm số lẻ

- Có vô số tâm đối xứng: I_k(kπ/2; 0), k∈Z

III. Ví dụ và bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

• Một số ví dụ xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

* Trong các hàm số dưới đây hiểu y = f(x).

* Ví dụ 1: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = sin2x

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng

- Ta có f(-x) = sin2(-x) = -sin2x = -f(x)

→ Hàm số y = sin2x là hàm số lẻ

* Ví dụ 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = cos3x

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng

- Ta có f(-x) = cos3(-x) = cos3x = f(x)

→ Hàm số y = cos3x là hàm số chẵn

* Ví dụ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tanx

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R{kπ/2, k ∈ Z}.

- Nên lấy x ∈ D thì – x ∈ D.

- Ta có: f(-x) = tan(-x) = -tanx = -f(x).

→ Vậy hàm số y = tanx là hàm số lẻ.

* Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tanx + cotx

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R{kπ/2, k ∈ Z}.

- Nên lấy x ∈ D thì – x ∈ D.

- Ta có: f(-x) = tan(-x) + cot(-x) = - tanx – cotx = -(tanx + cotx) = -f(x).

→ Vậy hàm số y = tanx + cotx đã cho là hàm số lẻ.

* Ví dụ 5: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = sinx + cosx

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R

- Nên lấy x ∈ D thì – x ∈ D.

- Ta có: f(-x) = sin(-x) + cos(-x) = -sinx + cosx.

→  Vậy hàm số y = sinx + cosx là hàm không chẵn, không lẻ (do f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x)).

* Ví dụ 6: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 2sinx + 3

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x∈D thì -x∈D)

- Ta có f(-x) = 2sin(-x) + 3 = -2sinx + 3

→ Vậy hàm số y = 2sinx + 3 là hàm không chẵn, không lẻ (do f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x)).

* Ví dụ 7: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 2sinx + 3

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x∈D thì -x∈D)

- Ta có f(-x) = 2sin(-x) + 3 = -2sinx + 3

→ Vậy hàm số y = 2sinx + 3 là hàm không chẵn, không lẻ (do f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x)).

* Ví dụ 8: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = sin²2x

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x∈D thì -x∈D)

- Ta có f(-x) = [sin2(-x)]² = [-sin2x]² = sin²2x =f(x)

→ Vậy hàm số y = sin²2x là hàm số chẵn.

* Ví dụ 9: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = sinx.cosx

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x∈D thì -x∈D)

- Ta có f(-x) = sin(-x).cos(-x) = (-sinx).cosx = -sinx.cosx = -f(x)

→ Vậy hàm số y = sinx.cosx là hàm số lẻ.

* Ví dụ 10: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 1 - cosx

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R là tập đối xứng (tức ∀x∈D thì -x∈D)

- Ta có f(-x) = 1 - cos(-x) = 1 - cosx = f(x)

→ Vậy hàm số y = 1 - cosx là hàm số chẵn.

* Ví dụ 11: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = (sinx - tanx)/(sinx + cotx)

° Lời giải:

- Hàm số xác định trên D = R\{kπ/2;k∈Z} nên ∀x∈D thì -x∈D.

- Ta có: y(-x) = (sin(-x) - tan(-x))/(sin(-x) + cot(-x))

   = (- sinx + tanx) / (- sinx - cotx)

   = (sinx - tanx) / (sinx + cotx) = y(x)

→ Vậy hàm số y = (sinx - tanx)/(sinx + cotx) là hàm số chẵn.

• Bài tập xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

* Trong các hàm số dưới đây hiểu y = f(x).

* Bài tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm lượng giác sau:

a) y = 5sin2x + 2tanx

b) y = cos3x + 1/sin3x

c) y = sin5x.cos2x

d) y = 2sin²x + 3cosx

e) y = 3cos²x + 2sinx

* Bài tập 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm lượng giác sau:

a) f(x) = (2sinx - 3tanx)/(3 + cosx)

b) f(x) = (|x|.sin2x)/cos³x