Giải bài 9 trang 121 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.

a) Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM).

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D’B với các mặt phẳng (A’DN), (B’CM). Chứng minh rằng D’E = BF =  EF.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:

• Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng kia, thì hai mặt phẳng đó song song.

• Định lí Thales trong không gian: Ba mặt phẳng song song cắt hai cát tuyến bất kì, các đoạn thẳng tương ứng trên hai cát tuyến đó tỉ lệ với nhau.

• Tính chất trọng tâm của tam giác: Trọng tâm chia đường trung tuyến thành hai phần, một phần bằng 2/3​ độ dài đường trung tuyến và một phần bằng 1/3​ độ dài đường trung tuyến.

Áp dụng các định lí và tính chất này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM).

Ta có hình minh họa như sau:

Ta có: (ADD’A’) // (CBC’B’);

  (ADD’A’) ∩ (DCB’A’) = A’D;

  (CBC’B’) ∩ (DCB’A’) = B’C.

⇒ A’D // B’C, mà B’C ⊂ (B’CM) nên A’D // (B’CM).

Tương tự: (ABB’A’) // (DCC’D’);

  (ABB’A’) ∩ (DMB’N) = MB’;

  (DCC’D’) ∩ (DMB’N) = DN.

⇒ MB’ // DN, mà MB’ ⊂ (B’CM) nên DN // (B’CM).

Ta có: A’D // (B’CM);

  DN // (B’CM);

  A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)

⇒ (A’DN) // (B’CM).

b) Chứng minh rằng D’E = BF = EF/2.

Ta có hình minh họa như sau:

• Trong mp(A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.

Ta có: D’B ∩ DJ = {E} mà DJ ⊂ (A’DN) nên E là giao điểm của D’B và (A’DN).

Tương tự, trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.

Ta có: D’B ∩ B’I = {F} mà B’I ⊂ (B’CM) nên F là giao điểm của D’B và (B’CM).

• Ta có: (A’DN) // (B’CM);

   (A’DN) ∩ (BDD’B’) = DJ;

   (B’CM) ∩ (BDD’B’) = B’I.

⇒ DJ // B’I.

Trong mp(BDD’B’), xét DBDE có IF // DE nên theo định lí Thalès ta có:

  (*) 

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Xét ΔABC, hai đường trung tuyến BO, CM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác nên có:

 (**)

Từ (*) và (**) ta có: 

Chứng minh tương tự ta cũng có: