Giải bài 10 trang 121 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) // (EFMH), CK // DH. Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (R) đi qua K và song song với mặt phẳng (ABCD).

a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt của khối gỗ để cắt được chính xác.

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm DH, BF với mặt phẳng (R). Biết BF = 60 cm, DH = 75 cm, CK = 40 cm. Tính FJ.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán yêu cầu chúng ta giúp bác thợ mộc cắt một khối gỗ bằng một mặt phẳng $(R)$ song song với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Để làm được điều này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

• Phần a:

  1. Xác định mặt phẳng $(R)$.

  2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(R)$ với từng mặt của khối gỗ. Giao tuyến này sẽ là các đường thẳng song song với các cạnh của mặt đáy $(ABCD)$.

• Phần b:

  1. Sử dụng kết quả từ phần a để xác định các giao điểm $I$ và $J$.

  2. Áp dụng định lí Thales trong không gian. Khi ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến bất kì, các đoạn thẳng tương ứng trên hai cát tuyến đó tỉ lệ với nhau.

  3. Sử dụng các thông số đã cho để tính toán và tìm ra độ dài của đoạn thẳng $FJ$.

Lời giải chi tiết:

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) 

Ta có hình minh họa như sau:

Trong mp(CDHK), qua K vẽ đường thẳng song song với CD, cắt DH tại N.

Trong mp(BCKF), qua K vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BF tại P.

Ta có: NK // CD, mà CD ⊂ (ACBD) nên NK // (ABCD).

  KP // BC, mà BC ⊂ (ACBD) nên KP // (ABCD).

  NK, KP cắt nhau tại K trong mp(NPK).

⇒ (NPK) // (ABCD).

Khi đó mp(R) qua K và song song với (ABCD) chính là mp(NPK).

Trong mp(ADHE), qua N vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AE tại Q.

Khi đó mp(R) là mp(NKPQ).

Vậy: (NKPQ) ∩ (ADHE) = QN;

  (NKPQ) ∩ (CDHK) = NK;

  (NKPQ) ∩ (BCKF) = KP;

  (NKPQ) ∩ (ABFE) = PQ.

b) Tính FJ.

Ta có hình minh họa như sau:

Ta có: DH cắt NK tại N, mà NK ⊂ (R) nên giao điểm của DH và (R) là điểm N.

Theo bài, I là giao điểm của DH và (R) nên điểm I và điểm N trùng nhau.

Tương tự ta cũng có điểm J trùng với điểm P.

Ta có: (ABCD) // (EFMH) và (R) // (ABCD) nên (EFMH) // (R) // (ABCD).

Lại có, hai cát tuyến FB, HD cắt ba mặt phẳng song song (EFMH), (R), (ABCD) lần lượt tại F, J, B và H, I, D nên theo định lí Thalès ta có:

Mặt khác, trong mp(CDKH), tứ giác CDIK có CK // DI (do CK // DH) và IK // CD

Do đó CDIK là hình bình hành, suy ra DI = CK = 40 cm.

Khi đó HI = DH – DI = 75 – 40 = 35 (cm).

Vì vậy, từ:  ta có:

Vậy FJ = 28 cm.