Giải bài 5 trang 120 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC.

a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD).

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP).

d) Gọi I là giao điểm của MQ và NP, G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, bạn cần nắm vững các phương pháp cơ bản trong hình học không gian:

• Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:

  • Để tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta tìm một mặt phẳng phụ $(Q)$ chứa $d$.

  • Tìm giao tuyến $\Delta$ của $(P)$ và $(Q)$.

  • Giao điểm của $d$ và $\Delta$ chính là giao điểm cần tìm.

• Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

  • Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta tìm hai điểm chung của chúng.

  • Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm.

• Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

  • Ta có thể chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một đường thẳng, ví dụ như đường trung tuyến, đường cao,...

  • Một phương pháp hiệu quả khác là chứng minh ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Áp dụng các phương pháp này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD).

Ta có hình minh hoạ như sau:

Trong mp(ABC), kéo dài MP cắt BC tại E. Nối AE, DE.

Ta có: MP ∩ BC = {E};

 BC ⊂ (BCD)

⇒ MP ∩ (BCD) = {E}.

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP).

Ta có hình minh hoạ như sau:

Nối NE, NE cắt CD tại Q.

Ta có: CD ∩ NE = {Q};

 NE ⊂ (MNP)

⇒ CD ∩ (MNP) = {Q}

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP).

Ta có hình minh hoạ như sau:

Ta có: P ∈ AC, mà AC ⊂ (ACD) nên P ∈ (ACD);

Mà P ∈ (MNP) nên P là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Lại có Q ∈ CD và CD ⊂ (ACD) nên Q ∈ (ACD);

Mà Q ∈ (MNP) nên Q là giao điểm của (ACD) và (MNP).

Do đó PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

d) Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.

Ta có hình minh hoạ như sau:

Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên hai đường trung tuyến DM, AN của tam giác cùng đi qua G.

Ta có: G ∈ AN mà AN ⊂ (ANC) nên G ∈ (ANC);

 G ∈ DM mà DM ⊂ (MDC) nên G ∈ (MDC).

Do đó G là giao điểm của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

Lại có: C ∈ (ANC) và C ∈ (MDC) nên C cũng là giao điểm của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

Vậy GC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

Mặt khác, I là giao điểm của MQ và NP nên I ∈ MQ và I ∈ NP.

Vì I ∈ MQ mà MQ ⊂ (MDC) nên I ∈ (MDC)

Vì I ∈ NP mà NP ⊂ (ANC) nên I ∈ (ANC)

Do đó giao tuyến GC của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC) đi qua điểm I.

⇒ Ba điểm C, I, G thẳng hàng.