Giải bài 39 trang 123 SGK Toán 9 tập 1

Bài 39 trang 123 SGK Toán 9 tập 1:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.

a) Chứng minh rằng 

b) Tính số đo góc OIO’.

c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.

Giải bài 39 trang 123 SGK Toán 9 tập 1:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Chứng minh rằng 

Xét đường tròn (O) có IB, IA là hai tiếp tuyến lần lượt tại B, A; IB và IA giao nhau tại I.

⇒ IB = IA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)

• Xét đường tròn (O’) có IC, IA là hai tiếp tuyến lượt tại C, A; IC và IA giao nhau tại I.

⇒ IC = IA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta có: 

• Xét ΔABC có

I là trung điểm của BC (do IB = IC)

Do đó, AI là trung tuyến ứng với cạnh BC

Mà (chứng minh trên)

Do đó, ΔABC vuông tại A (do tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông)

b) Tính số đo góc OIO’.

Xét đường tròn (O) có IB, IA là hai tiếp tuyến lần lượt tại B, A; IB và IA giao nhau tại I.

Do đó, IO là tia phân giác của góc BIA ⇒ 

Xét đường tròn (O’) có IC, IA là hai tiếp tuyến lượt tại C, A; IC và IA giao nhau tại I.

Do đó, IO’ là tia phân giác của góc CIA ⇒

Mà: 

 (do  và )

c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.

Vì IA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên IA ⊥ OA, IA ⊥ O'A

⇒ IA ⊥ OO' tại A

Xét ΔOIO’ vuông tại I

Có IA là đường cao (do IA ⊥ OO')

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AI² = AO.AO' = 9.4 = 36

⇒ AI =  = 6 (cm)

Có BC = 2AI (chứng minh phần a)

⇒ BC = 2.6 = 12 (cm).