Các công thức Logarit, Logarit Nepe (logarit cơ số e) cần nhớ - Toán lớp 12

11:32:0817/06/2020

Cũng như các công thức lũy thừa, việc ghi nhớ các công thức logarit, logarit nepe (hay logarit cơ số e) là rất cần thiết, điều này giúp các em vận dụng linh hoạt để giải các phương trình logarit, phương trình mũ.

Vậy các công thức logarit, logarit nepe (hay logarit cơ số e) cần nhớ gồm các công thức nào. Bài viết này sẽ tổng hợp lại các công thức logarit, logarit thập phân và logarit nepe cơ bản cần nhớ một cách đầy đủ để các em tham khảo.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình logarit chứa tham số cực hay

I. LÔGARIT

1. Định nghĩa Logarit

- Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α= b được gọi là lôgarit cơ số α của b, và ký hiệu là log_ab.

$small alpha =log_{a}bLeftrightarrow a^{alpha }=b,(a,b>0,a eq 1)$

* Ví dụ:

a) $small log_{2}8=3$ vì small 2^3=8

b) $small log_{frac{1}{3}}9=-2$ vì $small left ( frac{1}{3} ight )^{-2}=9$

2. Tính chất của lôgarit

- Cho hai số dương a và b, a ≠ 1. Ta có:

• $small log_{a}1=0;$ • $small log_{a}a=1;$

• $small a^{log_{a}b}=b;$ • $small log_{a}a^{alpha }=alpha ;$

* Ví dụ:

a) $small 3^{2log_35}=(3^{log_35})^2=5^2=25$

b) $small log_{frac{1}{2}}8=log_{frac{1}{2}}left ( frac{1}{2} ight )^{-3}=-3$

3. Quy tắc tính lôgarit

a) Lôgarit của một tích

• Cho ba số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có:

$small log_{a}(b_{1}b_2)=log_ab_1+log_ab_2$

• Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit

* Ví dụ: Tính log₆9 + log₆4

° Lời giải:

- Ta có: log₆9 + log₆4 = log₆(9.4) = log₆(36) = 2.

b) Lôgarit của một thương

• Cho ba số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có:

$small log_{a}frac{b_1}{b_2}=log_ab_1-log_ab_2$

• Lôgarit của một tích bằng hiệu các lôgarit, đặt biệt: $small log_{a}frac{1}{b}=-log_ab,(b>0)$

* Ví dụ: Tính log₇49 + log₇343

° Lời giải:

$small log_749-log_7343=log_7frac{49}{343}$ $small =log_7frac{1}{7}=-log_77=-1$

c) Lôgarit của một lũy thừa

• Cho hai số dương a, b; a ≠ 1. Với mọi α ta có:

$small log_ab^{alpha }=alpha log_ab$

• Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số, đặc biệt:

$small log_{a}sqrt[n]{b}=frac{1}{n}log_ab$

* Ví dụ: Tính: $small a)log_24frac{1}{7}$ $small b)log_5sqrt{3}-frac{1}{2}log_515$

° Lời giải:

a) $small log_{2}4^{frac{1}{7}}=log_{2}2^{frac{2}{7}}=frac{2}{7}log_22=frac{2}{7}$

b) $small log_5sqrt{3}-frac{1}{2}log_515=log_5sqrt{3}-log_5sqrt{15}$ $small =log_5frac{sqrt{3}}{sqrt{15}}=log_5frac{1}{sqrt{5}}=log_55^{-frac{1}{2}}=-frac{1}{2}$

d) Công thức đổi cơ số của Logarit

• Cho ba số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1, ta có: $small log_ab=frac{log_cb}{log_ca}$

• Đặc biệt: $small log_ab=frac{1}{log_ba},(b eq 1)$ ; $small log_{a^{alpha }}b=frac{1}{alpha }log_ab,(alpha eq 0)$

* Ví dụ: Tính $small a)2^{log_4}15$ $small b)3^{log_{frac{1}{27}}15}$

° Lời giải:

a) Ta có: $small log_415=log_{2^{2}}15=frac{1}{2}log_215=log_2sqrt{15}$

Suy ra $small 2^{log_{4}15}=2^{log_{2}sqrt{15}}=sqrt{15}$

b) Vì $small log_{frac{1}{27}2}=log_{3^{-3}2}=-frac{1}{3}log_{3}2$ $small =log_{3}2^{-frac{1}{3}}=log_3frac{1}{sqrt[3]{2}}$

nên $small 3^{log_{frac{1}{27}}2}=3^{log_{3}frac{1}{sqrt[3]{2}}}=frac{1}{sqrt[3]{2}}$

II. LÔGARIT thập phân

• Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10

• log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

III. LÔGARIT tự nhiên (Lôgarit nepe, lôgarit cơ số e)

• Dãy số (u_n) với $small u_n=left ( 1+frac{1}{n} ight )^n$ có giới hạn là 1 số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.

$small e=underset{n ightarrow +infty }{lim}left ( 1+frac{1}{n} ight )^n$

• Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

• log_eb được viết là lnb.

→ Khi học các công thức lôgarit các em cần lưu ý điều kiện cơ số của logarit phải dương và khác 1, số hay biểu thức trong lôgarit phải dương.

Công thức mà nhiều em hay nhầm khi giải phương trình logarit sau này đó là logarit của một tích hay logarit của một thương (nguyên nhân do các em không để ý đến điều kiện), ví dụ:

- Với với log₃x có nghĩa khi x > 0 nên phép ta có phép biến đổi đúng sau:

small log_3x+log_3x=log_3(x.x)=log_3x^2

Tuy nhiên nếu biểu thức là log₃x² có nghĩa khi x ≠ 0, phép biến đổi sau sẽ sai:

small log_xx^2=log_3(x.x)=log_3x+log_3x

→ Như vậy, các em cần đặc biệt lưu ý về điều kiện lôgarit có nghĩa trong các công thức lôgarit khi biến đổi. Chúc các em học tốt !

Hy vọng với bài viết Các công thức Logarit, Logarit Nepe (logarit cơ số e) cần nhớ ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Các công thức Logarit, Logarit Nepe (logarit cơ số e) cần nhớ - Toán lớp 12

Tags:

Đánh giá & nhận xét