Cách giải và biện luận phương trình Logarit chứa tham số m - Toán 12 chuyên đề

Cụ thể, phương pháp đồ thị hàm số thường được ưu tiên sử dụng trong các bài toán vận dụng cao, nơi mà việc nhẩm nghiệm hay sử dụng hệ thức Vi-et trực tiếp trở nên khó khăn. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết các bước thực hiện và các bài tập minh họa dễ hiểu nhất.

I. Phương pháp giải phương trình logarit chứa tham số m bằng đồ thị

Để giải và biện luận phương trình logarit chứa tham số $m$, chúng ta cần thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tách tham số $m$ ra khỏi biến số $x$ và đưa phương trình về dạng: $f(x) = T(m)$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên miền xác định $D$ (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên).

• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của $T(m)$ sao cho đường thẳng $y = T(m)$ (đường thẳng nằm ngang song song với trục $Ox$) cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ theo yêu cầu đề bài.

• Bước 4: Kết luận các giá trị của tham số $m$.

Một số lưu ý "sống còn":

• Giá trị cực trị: Nếu hàm số $y = f(x)$ có GTLN và GTNN trên $D$ thì phương trình có nghiệm khi: $\min_{x\in D}f(x) \le T(m) \le \max_{x\in D}f(x)$.

• Số nghiệm: Nếu bài toán yêu cầu tìm $k$ nghiệm phân biệt, ta cần xác định $T(m)$ sao cho đường thẳng $y = T(m)$ cắt đồ thị tại đúng $k$ điểm phân biệt.

• Điều kiện ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ để đổi biến, các em cần đặt điều kiện cho biến mới thật chính xác. Việc sai lệch miền giá trị của biến mới sẽ dẫn đến kết quả sau cùng bị sai hoàn toàn.

II. Các bài tập vận dụng chi tiết

Bài tập 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;1)

Cho phương trình: $4(\log_2 \sqrt{x})^2 - \log_{\frac{1}{2}}x + m = 0$

Lời giải:

Biến đổi phương trình:

Đặt $t = \log_2 x$. Với $x \in (0; 1) \Rightarrow t \in (-\infty; 0)$. Khi đó $(*)$ trở thành: $t^2 + t = -m \quad (**)$.

Xét hàm $f(t) = t^2 + t$ trên $(-\infty; 0)$, ta có: $f'(t) = 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = -1/2$.

- Bảng biến thiến thiên:

• Khi $t \to -\infty$ thì $f(t) \to +\infty$.

• $f(-1/2) = -1/4$.

• $f(0) = 0$.

Nhận thấy với mỗi $t < 0$ cho ta đúng một nghiệm $x \in (0; 1)$ (vì $x = 2^t$). Do đó, để phương trình $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình $(**)$ phải có 2 nghiệm phân biệt trên $(-\infty; 0)$.

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi: $-1/4 < -m < 0 \Leftrightarrow \mathbf{0 < m < 1/4}$.

Bài tập 2: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn $1 < x_1 < 2 < x_2$

Cho phương trình: $(m-4)\log_2^2 x - 2(m-2)\log_2 x + m - 1 = 0 \quad (*)$

Lời giải:

Đặt $t = \log_2 x \Rightarrow x = 2^t$. Với $1 < x_1 < 2 < x_2 \Rightarrow 0 < t_1 < 1 < t_2$.

Phương trình trở thành: $(m-4)t^2 - 2(m-2)t + m - 1 = 0$.

Cô lập $m$: $m(t^2 - 2t + 1) = 4t^2 - 4t + 1 \Leftrightarrow m(t-1)^2 = (2t-1)^2$.

Với $t = 1$ không phải là nghiệm, ta có: $m = \left( \frac{2t-1}{t-1} \right)^2 \quad (**)$.

Xét hàm $f(t) = \left( \frac{2t-1}{t-1} \right)^2$ với $t \in (0; +\infty) \setminus \{1\}$, ta có: $f'(t) = \frac{-2(2t-1)}{(t-1)^3}$.

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1/2$.

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên

• $f(0) = 1$.

• $f(1/2) = 0$.

• Khi $t \to 1$ thì $f(t) \to +\infty$.

• Khi $t \to +\infty$ thì $f(t) \to 4$.

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình $(*)$ có hai nghiệm thỏa mãn $0 < t_1 < 1 < t_2$ thì đường thẳng $y = m$ phải cắt đồ thị tại một điểm thuộc khoảng $(0; 1)$ và một điểm thuộc $(1; +\infty)$.

Kết quả: $m > 4$.

Bài tập 3: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm trên $[32; +\infty)$

Cho phương trình: $\sqrt{\log_2^2 x + \log_{\frac{1}{2}}x^2 - 3} = m(\log_4 x^2 - 3)$

Lời giải:

Biến đổi phương trình: $\sqrt{\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3} = m(\log_2 x - 3) \quad (*)$.

Đặt $t = \log_2 x$. Với $x \in [32; +\infty) \Rightarrow t \ge 5$.

Phương trình trở thành: $\sqrt{t^2 - 2t - 3} = m(t - 3) \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{t^2 - 2t - 3}}{t - 3} \quad ()$.

(Do $t \ge 5$ nên $t-3 > 0$).

Xét hàm số $f(t) = \frac{\sqrt{t^2 - 2t - 3}}{t - 3}$ trên $[5; +\infty)$.

Ta có $f(t) = \sqrt{\frac{t^2 - 2t - 3}{(t-3)^2}} = \sqrt{\frac{(t-3)(t+1)}{(t-3)^2}} = \sqrt{\frac{t+1}{t-3}}$.

$f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{t+1}{t-3}}} \cdot \frac{-4}{(t-3)^2} < 0$ với mọi $t \ge 5$.

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy

• $f(5) = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$.

• Khi $t \to +\infty$ thì $f(t) \to 1$.

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực thuộc $[32; +\infty)$ thì: $1 < m \le \sqrt{3}$.