Các dạng toán bất phương trình mũ, bất phương trình logarit cách giải và bài tập - Toán 12 chuyên đề

Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ các dạng toán thường gặp, phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa cụ thể để giúp các em làm chủ chuyên đề này.

I. Các dạng toán bất phương trình Mũ

Dạng 1: Bất phương trình mũ có dạng $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình mũ dạng này ta sử dụng phép biến đổi tương đương như sau:

Hoặc dùng công thức: $\begin{cases} a > 0 \\ (a-1)[f(x)-g(x)] \le 0 \end{cases}$

• Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $3^{x^2-x} \le 3^{1-x}$

  • Lời giải: Vì cơ số $3 > 1$ nên: $x^2-x \le 1-x \Leftrightarrow x^2-1 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1$.

• Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $\left( \frac{2}{5} \right)^{4x} \le \left( \frac{5}{2} \right)^{2-x}$

  • Lời giải: Đưa về cùng cơ số $2/5$: $\left( \frac{2}{5} \right)^{4x} \le \left( \frac{2}{5} \right)^{x-2}$. Vì $2/5 < 1$ nên: $4x \ge x-2 \Leftrightarrow 3x \ge -2 \Leftrightarrow x \ge -2/3$.

• Ví dụ 3: Giải bất phương trình: $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^2+1} > (5+2\sqrt{6})^{2x+1}$

  • Lời giải: Nhận thấy $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-2}$. Vì cơ số $\sqrt{3}-\sqrt{2} < 1$ nên: $x^2+1 < -2(2x+1) \Leftrightarrow x^2+4x+3 < 0 \Leftrightarrow -3 < x < -1$.

Dạng 2: Bất phương trình mũ có dạng $a^{f(x)} < b$ ($b > 0$)

Phương pháp giải:

Để giải bất phương trình mũ dạng này ta sử dụng phép biến đổi tương đương như sau:

• Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $2^{-x^2+3x} < 4$

  • Lời giải: $2^{-x^2+3x} < 2^2 \Leftrightarrow -x^2+3x < 2 \Leftrightarrow x^2-3x+2 > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 2$.

• Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $5^{x^2-1} < 4$

  • Lời giải: Vì $5 > 1$ nên: $x^2-1 < \log_5 4 \Leftrightarrow x^2 < 1 + \log_5 4 = \log_5 20 \Leftrightarrow |x| < \sqrt{\log_5 20}$.

Dạng 3: Bất phương trình mũ có dạng $a^{f(x)} > b$

Phương pháp giải:

Sử dụng phép biến đổi tương đương:

• Ví dụ: Giải bất phương trình: $\left( \frac{7}{9} \right)^{2x^2-3x} \ge \frac{9}{7}$

  • Lời giải: $\left( \frac{9}{7} \right)^{-2x^2+3x} \ge \frac{9}{7}^1 \Leftrightarrow -2x^2+3x \ge 1 \Leftrightarrow -2x^2+3x-1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1$.

II. Các dạng toán bất phương trình Logarit

Dạng 1: Bất phương trình logarit dạng $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$

Phương pháp giải:

• Ví dụ 1: Giải $\log_{1/5}(3x-5) > \log_{1/5}(x+1)$

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x > 5/3$. Vì $1/5 < 1 \Rightarrow 3x-5 < x+1 \Leftrightarrow x < 3$. Tập nghiệm: $(5/3; 3)$.

• Ví dụ 2: Giải $\log_3(x^2-1) < 1 + \log_3(x-1)$

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x > 1$. BPT $\Leftrightarrow \log_3(x^2-1) < \log_3[3(x-1)] \Rightarrow x^2-1 < 3x-3 \Leftrightarrow 1 < x < 2$.

Dạng 2: Bất phương trình logarit dạng $\log_a f(x) < b$

Phương pháp giải:

• Ví dụ: Giải $-\log_3(x^2-6x+18) + 2\log_3(x-4) < 0$

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x > 4$. BPT $\Leftrightarrow (x-4)^2 < x^2-6x+18 \Leftrightarrow -2x < 2 \Leftrightarrow x > -1$. Kết hợp ĐKXĐ: $x > 4$.

Dạng 3: Bất phương trình logarit dạng $\log_a f(x) > b$

Phương pháp giải:

• Ví dụ: Giải $\log_2(4-2x) \ge 6$

  • Lời giải: ĐKXĐ: $x < 2$. Vì $2 > 1 \Rightarrow 4-2x \ge 64 \Leftrightarrow x \le -30$.

III. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ a: $9^x + 2 \cdot 3^{x+1} - 16 \ge 0$

• Lời giải: Đặt $t = 3^x > 0$. BPT: $t^2+6t-16 \ge 0 \Rightarrow t \ge 2 \Leftrightarrow 3^x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge \log_3 2$.

Ví dụ b: $(5+\sqrt{21})^x + (5-\sqrt{21})^x \le 2^{x+\log_2 5}$

• Lời giải: Chia 2 vế cho $2^x$ và đặt $t = \left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)^x$. BPT: $t + 1/t \le 5 \Rightarrow -1 \le x \le 1$.

Ví dụ c: $4^{\ln x+1} - 6^{\ln x} - 2 \cdot 3^{\ln x^2+2} \le 0$

• Lời giải: ĐKXĐ: $x > 0$. Đưa về: $4\left( \frac{2}{3} \right)^{2\ln x} - \left( \frac{2}{3} \right)^{\ln x} - 18 \le 0$. Đặt $t = (2/3)^{\ln x} > 0 \Rightarrow t \le 9/4 \Leftrightarrow \ln x \ge -2 \Leftrightarrow x \ge e^{-2}$.