Hotline 0936685849

Bài 2 trang 56 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tọa Độ Vectơ

14:36:4220/03/2024

Bài 2 trang 56 Toán 12 Tập 1 thuộc nội dung "Hệ tọa độ trong không gian". Bài tập này giúp các em củng cố kiến thức về cách biểu diễn tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm thông qua các vectơ đơn vị $i$ , $j$ , $k$ trong không gian Oxyz.

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$ , biết: a) $\overrightarrow{a}$ $= (- 2; 5; - 7)$ , $\overrightarrow{b}$ $= (4; 0; 1)$ .

a) Tính $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i};\:\overrightarrow{j};\:\overrightarrow{k}$ .

b) $A (7; - 2; 1)$ , $B (0; 5; 0)$ . Tính $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i};\:\overrightarrow{j};\:\overrightarrow{k}$ .

Phân tích và hướng dẫn giải:

Khái niệm tọa độ trong không gian Oxyz

Một vectơ $\overrightarrow{v}$ có tọa độ $(x; y; z)$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\:\overrightarrow{j};\:\overrightarrow{k}$ như sau:

$\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ .
Một điểm $A$ có tọa độ $(x_{A}; y_{A}; z_{A})$ có thể được biểu diễn thông qua vectơ vị trí $\overrightarrow{OA}$ là:

$\vec{OA}=x_A\vec{i}+y_A\vec{j}+z_A\vec{k}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Tính $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i};\:\overrightarrow{j};\:\overrightarrow{k}$ .

Đối với vectơ $\overrightarrow{a}$ :
- Ta có tọa độ $\overrightarrow{a}$ $= (- 2; 5; - 7)$ .
- Biểu diễn theo các vectơ đơn vị: $\vec{a}=-2\vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k}$ .
Đối với vectơ $\overrightarrow{b}$ :
- Ta có tọa độ $\overrightarrow{b}$ $= (4; 0; 1)$ .
- Vì thành phần $y$ bằng 0 nên không có vectơ $\overrightarrow{j}$ .
- Biểu diễn theo các vectơ đơn vị: $\vec{b}=4\vec{i}+0\vec{j}+1\vec{k}=4\vec{i}+\vec{k}$ .

b) Tính $O A$ và $OB$ theo các vectơ đơn vị

Đối với vectơ $\overrightarrow{OA}$ :
- Tọa độ điểm $A$ là $(7; - 2; 1)$ .
- Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OA}$ :
  
  $\vec{OA}=7\vec{i}-2\vec{j}+1\vec{k}=7\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$ .
Đối với vectơ $\overrightarrow{OB}$ :
- Tọa độ điểm $B$ là $(0; 5; 0)$ .
- Vì thành phần $x$ và $z$ bằng 0 nên không có vectơ $i$ và $k$ .
- Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OB}$ :
  
  $$\vec{OB}=0\vec{i}+5\vec{j}+0\vec{k}=5\vec{j}$.$

Đáp số:

a) $\vec{a}=-2\vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k}$ và $\vec{b}=4\vec{i}+\vec{k}$ .

b) $\vec{OA}=7\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$ và $\vec{OB}=5\vec{j}$ .

Bài toán này giúp các em nắm vững mối quan hệ giữa các vectơ đơn vị và tọa độ của vectơ/điểm trong không gian Oxyz. Nắm vững kiến thức này là nền tảng để giải các bài toán hình học không gian phức tạp hơn. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm:

Bài 1 trang 56 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trong không gian Oxyz, biết: a) $\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$ , $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k}$ . Tìm...