Bài 3 trang 56 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2 (Hình 13).

a) Xác định một hệ tọa độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, S.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, các em cần nhớ lại mối liên hệ giữa tọa độ và vector trong không gian. Việc chọn hệ trục tọa độ sao cho càng nhiều điểm nằm trên các trục tọa độ càng tốt sẽ giúp việc tính toán trở nên đơn giản.

Các bước thực hiện:

1. Chọn gốc tọa độ O trùng với một điểm đặc biệt của hình (ở đây là đỉnh B của góc vuông).

2. Chọn ba trục Ox, Oy, Oz trùng hoặc song song với các cạnh vuông góc với nhau (BA, BC, SA).

3. Xác định tọa độ của các điểm dựa vào độ dài các cạnh đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Xác định một hệ tọa độ và chỉ ra các vector đơn vị

Dựa vào gợi ý hình vẽ, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

• Gốc tọa độ O trùng với điểm B.

• Trục Ox trùng với đường thẳng BC.

• Trục Oy trùng với đường thẳng BA.

• Trục Oz vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B và trùng với đường thẳng SA (vì SA vuông góc với (ABC), do đó nó song song với trục Oz).

Các vector đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là , ,  với độ dài của chúng bằng 1.

b) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, S

Dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và các kích thước đã cho, ta xác định tọa độ các điểm:

• Điểm B: Là gốc tọa độ, nên $B(0;0;0)$.

• Điểm C: Nằm trên trục Ox và cách gốc B một khoảng 3 đơn vị. Tọa độ điểm C là $C(3;0;0)$.

• Điểm A: Nằm trên trục Oy và cách gốc B một khoảng 2 đơn vị. Tọa độ điểm A là $A(0;2;0)$.

• Điểm S: Hạt nhân S có hình chiếu lên mặt phẳng (ABC) là A. Khoảng cách SA = 2. Vector  là tổng của vector  và vector .

  •  có tọa độ $(0;2;0)$.

  •  có tọa độ $(0;0;2)$.

  • Vậy  $=(0;2;0)+(0;0;2)=(0;2;2)$.

    Tọa độ điểm S là $S(0;2;2)$.