Hotline 0936685849

Bài 5 trang 57 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

14:56:1720/03/2024

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 5 trang 57 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập cách thiết lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ điểm và vector của một hình chóp, một kiến thức nền tảng của hình học tọa độ.

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với góc O. Các vectơ $\overrightarrow{OB} ,\: \overrightarrow{OC} , \: \overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{i},\: \overrightarrow{j},\: \overrightarrow{k}$ và OA = OS = 4 (Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\: \overrightarrow{AC},\: \overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Bài 5 trang 57 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O là gốc tọa độ. Chúng ta cần tìm tọa độ của một số vector. Để giải bài toán này, các em sẽ thực hiện các bước sau:

Xác định tọa độ các điểm cơ bản: Dựa vào tính chất của hình thoi và định lý Pythagoras để tìm độ dài các đoạn thẳng, sau đó tìm tọa độ của các điểm A, B, C, D, S.
Tính tọa độ các vector: Sử dụng công thức $\vec{XY}=(x_Y-x_X;y_Y-y_X;z_Y-z_X)$ để tính tọa độ của các vector cần tìm.
Sử dụng công thức trung điểm: Với vector $\vec{AM}$ , ta sẽ dùng công thức trung điểm để tìm tọa độ của M và sau đó tính $\vec{AM}$ .

Lời giải chi tiết:

1. Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D, S

Tính độ dài các đoạn thẳng:
- Đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo là O.
- OA = 4
- Xét tam giác OAB vuông tại O, theo định lý Pythagoras:
  
  $OB=\sqrt{AB^2-OA^2}$ $=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$ .
Xác định tọa độ các điểm:
- Gốc tọa độ O(0; 0;0).
- Vector $\vec{OB}$ cùng hướng với $\vec{i}$ và $OB=3\Rightarrow B(3;0;0)$ .
- Vector $\vec{OA}$ ngược hướng với $\vec{j}$ (do B, C, D, A được sắp xếp theo hình vẽ) và $OA=4\Rightarrow A(0;-4;0)$ .
- Vector $\vec{OC}$ cùng hướng với $\vec{j}$ và $OC=4\Rightarrow C(0;4;0)$ .
- Vector $\vec{OD}$ ngược hướng với v và $OD=3\Rightarrow D(-3;0;0)$ .
- Vector $\vec{OS}$ cùng hướng với $\vec{k}$ và $OS=4\Rightarrow S(0;0;4)$ .

2. Tính tọa độ các vector

Vector $\vec{AB}$ : $\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$ $=(3-0;0-(-4);0-0)=(3;4;0)$ .
Vector $\vec{AC}$ : $\vec{AC}=(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)$ $=(0-0;4-(-4);0-0)=(0;8;0)$ .
Vector $\vec{AS}$ : $\vec{AS}=(x_S-x_A;y_S-y_A;z_S-z_A)$ .

3. Tìm tọa độ vector $\vec{AM}$

M là trung điểm của cạnh SC. Tọa độ của M là:

$x_M=\frac{x_S+x_C}{2}=\frac{0+0}{2}=0$

$y_M=\frac{y_S+y_C}{2}=\frac{0+4}{2}=2$

$z_M=\frac{z_S+z_C}{2}=\frac{4+0}{2}=2$

Vậy, tọa độ của điểm M là M(0; 2; 2)

Vector $\vec{AM}$ có tọa độ là: $\vec{AM}=(x_M-x_A;y_M-y_A;z_M-z_A)$ $=(0-0;2-(-4);2-0)=(0;6;2).$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện kỹ năng lập hệ trục tọa độ, xác định tọa độ điểm và vector trong không gian. Việc nắm vững các công thức tọa độ là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ một cách hiệu quả.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 56 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Trong không gian Oxyz, biết: a) $\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$ , $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k}$ . Tìm...