Giải bài 6 trang 15 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề Bài 6 trang 15 Toán 10 tập 1:

Cho các mệnh đề sau:

P: "Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó";

Q: "Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10";

R: "Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0".

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các mệnh đề đã cho.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, các em cần hiểu rõ ý nghĩa của các ký hiệu và cách xét tính đúng sai của một mệnh đề.

• Ký hiệu $\forall$ (với mọi): Mệnh đề chứa ký hiệu này chỉ đúng khi và chỉ khi khẳng định đó đúng với tất cả các phần tử của tập hợp được xét. Chỉ cần tìm được một trường hợp sai (phản ví dụ) thì mệnh đề đó sẽ sai.

• Ký hiệu $\exists$ (tồn tại): Mệnh đề chứa ký hiệu này chỉ đúng khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử trong tập hợp thỏa mãn khẳng định. Mệnh đề này chỉ sai khi không có bất kỳ phần tử nào thỏa mãn.

Sau khi xét tính đúng sai, các em sẽ chuyển các mệnh đề từ ngôn ngữ thông thường sang ký hiệu toán học.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề

+) Xét mệnh đề P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”:

Lấy số thực x bất kì, ta có:

Nếu x ≥ 0 thì |x| =  x;

Nếu x < 0 thì |x| = - x. Do đó |x| > x.

⇒ với mọi x ∈ ℝ thì |x| ≥ x.

Vậy mệnh đề P đúng.

+) Xét mệnh đề Q: "Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10":

Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn n² = 10.

Xét: 

Tuy nhiên: 

Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy mệnh đề Q sai.

+) Xét mệnh đề R: "Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0".

Xét phương trình x² + 2x – 1 = 0, có:

∆’ = 1² – 1.(-1) = 2 > 0 

Khi đó phương trình có hai nghiệm:

Hai nghiệm này đều là các số thực. 

Do đó tồn tại các số thực  thỏa mãn x² + 2x – 1 = 0.

Vậy mệnh đề R đúng.

b) Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các mệnh đề

Các mệnh đề được phát biểu như sau:

P: "∀x ∈ R, |x| ≥ x"

Q: "∃a ∈ N, "

R: "∃x ∈ R, x² + 2x + 1 = 0"