Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng Công thức và cách tính - Toán 10 chuyên đề

Bài viết dưới đây chúng ta cùng ôn tập về công thức cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng trong Oxy. Qua đó vận dụng giải một số dạng bài tập tính khoảng cách để rèn luyện kỹ năng giải toán được nhuần nhiễn hơn.

» Đừng bỏ lỡ: Cách tính khoảng giữa 2 điểm trong mặt phẳng Oxy

A. Công thức cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng trong Oxy

• Cho đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀). Khi đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là:

• Cho điểm A(x_A; y_A) và điểm B(x_B; y_B). Khi đó, khoảng cách hai điểm này (hay độ dài đoạn AB) được tính theo công thức:

> Lưu ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng Δ về dạng tổng quát sau đó mới sử dụng công thức tính khoảng cách trên.

B. Ví dụ minh họa Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng trong Oxy

* Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(2;1) đến đường thẳng Δ: 2x + 3y - 1 = 0

* Lời giải:

- Khoảng cách từ điểm M(2;1) đến đường thẳng Δ là:

* Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1;1) đến đường thẳng Δ: 4x - 3y - 11 = 0

* Lời giải:

- Khoảng cách từ điểm M(1;1) đến đường thẳng Δ là:

* Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ M(2; 0) đến đường thẳng Δ: 

* Lời giải:

- Nhận thấy đường thẳng Δ đang ở dạng phương trình tham số, ta cần đưa về dạng tổng quát.

Cho t = 0 thì ta thấy Δ đi qua điểm A(1;2)

Δ có VTCP   nên có VTPT là 

Vậy phương trình (Δ) có dạng:

 4(x - 1) – 3(y - 2) = 0 

⇔ 4x - 3y + 2 = 0

Nên áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ điểm M đến Δ là:

* Ví dụ 4: Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (Δ): 4x + 3y + 50 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) là bao nhiêu?

* Lời giải:

Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng Δ chính là bán kính R của đường tròn.

Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

* Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết A(1;1); B(2,3); C(-1;2).

a) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC. 

b) Tính diện tích tam giác ABC

* Lời giải:

a) Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó, ta cần viết phương trình đường thẳng BC.

- Ta có:  

Vậy vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: 

Đường thẳng BC đi qua điểm B(2;3) nên ta có:

1.(x - 2) - 3(y - 3) = 0

⇔ x - 3y + 7 = 0

Khoảng cách từ điểm A(1;1) đến đường thẳng BC là:

b) Điện tích tam giác ABC tính theo công thức

Độ dài BC là: 

Vậy diện tích tam giác ABC là: