Giải bài 3 trang 48 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) 

b)

c) u_n = (–1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta áp dụng phương pháp thích hợp cho từng trường hợp:

• Phần a): Dãy số có dạng phân thức, nên xét hiệu $u_{n+1} - u_n$ là phương pháp phù hợp nhất.

• Phần b): Dãy số gồm các số hạng dương và có chứa lũy thừa, giai thừa, nên xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ là phương pháp hiệu quả nhất.

• Phần c): Dãy số chứa thừa số $(-1)^n$, nên ta phải xét riêng các trường hợp $n$ chẵn và $n$ lẻ để kết luận tính đơn điệu.

Lời giải chi tiết:

a) 

Ta có:

Xét:

⇒ u_n+1 > u_n

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) 

Ta có:

Vì n ∈ ℕ^* nên 

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) u_n = (–1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Ta có: u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹ + 1)

- Nếu n chẵn thì u_n+1 = – (2.2ⁿ + 1) và u_n = 2ⁿ + 1. Do đó u_n+1 < u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

- Nếu n lẻ thì u_n+1 = 2.2ⁿ + 1 và u_n = – (2ⁿ + 1). Do đó u_n+1 > u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.