Giải bài 5 trang 48 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi  với mọi n ∈ ℕ^*.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có dạng "khi và chỉ khi" (tương đương), đòi hỏi ta phải chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề theo cả hai chiều:

1. Chiều thuận ($\Rightarrow$): Giả sử $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng. Ta cần chứng minh $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$.

2. Chiều đảo ($\Leftarrow$): Giả sử $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$. Ta cần chứng minh $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

Do $\left(u_n\right)$ là dãy số thực dương ($u_n > 0$), việc nhân hoặc chia cho $u_n$ sẽ không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức, đây là chìa khóa để chứng minh sự tương đương.

Lời giải chi tiết:

• Nếu  với mọi n ∈ ℕ^* thì u_n+1 > u_n.

Do đó dãy số (u_n) là dãy số tăng.

• Nếu (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 > u_n 

Do đó