Giải bài 14 trang 58 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Ứng dụng cấp số nhân

Đề bài:

Một khay nước có nhiệt độ 23°C được đặt vào ngăn đá tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, ta sẽ xác định mối quan hệ giữa nhiệt độ của khay nước sau mỗi giờ.

• Nhiệt độ ban đầu (lúc $n=0$) là 23∘C.

• Sau mỗi giờ, nhiệt độ giảm 20%, điều này có nghĩa là nhiệt độ còn lại là $100\%-20\%=80\%$ so với nhiệt độ của giờ trước đó.

• Vì nhiệt độ sau mỗi giờ bằng một hằng số (80%) nhân với nhiệt độ của giờ trước, nên dãy nhiệt độ này lập thành một cấp số nhân.

• Ta sẽ tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân để tính nhiệt độ sau 6 giờ.

Lời giải chi tiết:

Gọi u_n là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có: u₁ = 23;

u₂ = 23 – 23.20% = 23.(1 – 20%) = 23.80%;

u₃ = 23.80%.80% = 23.(80%)²;

. . .

Suy ra dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 23 và công bội q = 80% có số hạng tổng quát là:

u_n = 23.(80%)^{n – 1} (^oC).

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u₆ = 23.(80%)⁵ ≈ 7,5°C.