Giải bài 12 trang 42 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

16:11:3509/06/2023

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết Bài 12 trang 42 sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Cánh Diều. Bài toán này giúp các bạn củng cố kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản, từ phương trình sin,

Đề bài:

Giải các phương trình sau:

a) $\small sin\left ( 2x-\frac{\pi}{6} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\dpi{100} \small cos\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=\frac{1}{2}$

c) sin3x – cos5x = 0;

d) $\small cos^2x=\frac{1}{4}$

e) $\small sinx-\sqrt{3}cosx=0$

g) sinx + cosx = 0.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải các phương trình lượng giác này, ta cần đưa chúng về dạng cơ bản. Mỗi dạng phương trình có công thức nghiệm riêng:

Phương trình $\sin x=\sin\alpha$ : $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$
Phương trình $\cos x=\cos\alpha$ : $x=\pm\alpha+k2\pi$
Phương trình $\tan x=\tan\alpha$ (và $\cot x=\cot\alpha$ ): $x=\alpha+k\pi$
Phương trình đặc biệt:
- $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$
- $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
Phương trình bậc nhất theo sin và cos: $a\sin x+b\cos x=c$
- Ta chia cả hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$ và biến đổi về dạng $\sin(x+\alpha)=\dots$ hoặc $$\cos(x+\alpha)=\dots$.$

Lời giải chi tiết:

a) Giải phương trình: $\sin(2x-\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\sin(2x-\frac{\pi}{6})=\sin(-\frac{\pi}{3})$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+k2\pi$

$2x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi$
$x=-\frac{\pi}{12}+k\pi$
Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi}{6}=\pi-(-\frac{\pi}{3})+k2\pi$

$x=\frac{3\pi}{4}+k\pi$

Vậy, phương trình có các nghiệm là $x=-\frac{\pi}{12}+k\pi$ và , với $k\in\mathbb{Z}$ .

b) Giải phương trình: $\cos(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$

Ta có: $\cos(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{3})$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình cos, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+k2\pi$

$\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{12}+k2\pi$
$x=\frac{\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}$
Trường hợp 2: $\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+k2\pi$

$\frac{3x}{2}=-\frac{7\pi}{12}+k2\pi$
$x=-\frac{7\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}$

Vậy, phương trình có các nghiệm là $x=\frac{\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}$ và $x=-\frac{7\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}$ , với $k\in\mathbb{Z}$ .

c) Giải phương trình: $\sin 3x-\cos 5x=0$

Ta có: $\sin 3x=\cos 5x\Leftrightarrow\sin 3x=\sin(\frac{\pi}{2}-5x)$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $3x=\frac{\pi}{2}-5x+k2\pi$
Trường hợp 2: $3x=\pi-(\frac{\pi}{2}-5x)+k2\pi\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+5x+k2\pi$

$$-2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$
$x=-\frac{\pi}{4}-k\pi=-\frac{\pi}{4}+k\pi$

Vậy, phương trình có các nghiệm là $x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}$ và $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ , với $k\in\mathbb{Z}$ .

d) Giải phương trình: $\cos^2 x=\frac{1}{4}$

Ta có: $\cos^2 x=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\cos x=\pm\frac{1}{2}$

Trường hợp 1: $\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\cos x=\cos(\frac{\pi}{3})$
$x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi$
Trường hợp 2: $\cos x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow\cos x=\cos(\frac{2\pi}{3})$

$x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi$

Kết hợp hai trường hợp: $x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi$

Vậy, phương trình có nghiệm là $x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi$ , với $k\in\mathbb{Z}$ .

e) Giải phương trình: $\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$

Ta chia cả hai vế cho $\cos x$ (với điều kiện $\cos x\ne 0$ )

$\frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow\tan x=\sqrt{3}=\tan(\frac{\pi}{3})$

$x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Vậy, phương trình có nghiệm là $x=\frac{\pi}{3}+k\pi$ , với $k\in\mathbb{Z}$ .

g) Giải phương trình: $\sin x+\cos x=0$

Ta chia cả hai vế cho $\cos x$ (với điều kiện $\cos x\ne 0$ )

$x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$

Vậy, phương trình có nghiệm là $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ , với $k\in\mathbb{Z}$ .

Bài toán này đã giúp các em rèn luyện kỹ năng giải các loại phương trình lượng giác cơ bản và nâng cao. Nắm vững các công thức nghiệm và phương pháp biến đổi là chìa khóa để giải quyết bài toán một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 6 trang 41 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Nếu $\dpi{100} \small sina=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ thì $\dpi{100} \small sin\left (a+\frac{\pi}{4} \right )+sin\left (a-\frac{\pi}{4} \right )$ bằng: A. 2/3...